दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा
दृष्टि रेखा देखने वाले की आँख से वस्तु तक की सीधी रेखा है। क्षैतिज रेखा आँख से होकर जाने वाली, ज़मीन के समांतर रेखा है। कक्षा 10 के सवालों में ज़मीन समतल और मीनार, खंभे, इमारतें सीधी खड़ी मानी जाती हैं, यानी ज़मीन से 90° पर।
उन्नयन कोण
जब वस्तु आँख से ऊपर हो, तुम सिर ऊपर उठाते हो। दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण उन्नयन कोण है। मीनार की ओर चलने पर यह कोण बड़ा होता जाता है।
अवनमन कोण
जब वस्तु आँख से नीचे हो, तुम सिर झुकाते हो। क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण अवनमन कोण है। इसे चोटी की क्षैतिज रेखा से नापते हैं, मीनार से कभी नहीं।
चोटी की क्षैतिज रेखा ज़मीन के समांतर है, इसलिए अवनमन कोण और उन्नयन कोण एकांतर कोण हैं और बराबर होते हैं। इससे कोण को चित्र में नीचे लिख सकते हो।
एक समकोण त्रिभुज से हल
- कच्चा चित्र बनाओ, समकोण लगाओ।
- जो पता है (दूरी या ऊँचाई) और कोण लिखो।
- वह अनुपात चुनो जो पता भुजा और अनजानी भुजा को जोड़े। ऊँचाई और ज़मीन → tan। ऊँचाई और तिरछी लंबाई (सीढ़ी, डोरी) → sin। ज़मीन और तिरछी → cos।
- टेबल के मान रखकर हल करो।
दशमलव उत्तर चाहिए तो √3 ≈ 1.732 और √2 ≈ 1.414 लो।
दो समकोण त्रिभुज वाले सवाल
बोर्ड के कई सवालों में दो त्रिभुज होते हैं:
- एक ही रेखा पर दो जगह से देखना (30° और 60°) → एक अनजान ऊँचाई h और एक अनजान दूरी x।
- इमारत पर झंडा-दंड: एक ही बिंदु से दो कोण → दो ऊँचाइयाँ, ज़मीन की दूरी एक।
- आमने-सामने दो इमारतें या इमारत और मीनार।
हर त्रिभुज के लिए एक tan समीकरण लिखो। एक से x निकालकर दूसरे में रखो। ये सवाल 3 से 5 अंक के होते हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- tan θ = ऊँचाई / क्षैतिज दूरी
- sin θ = ऊँचाई / तिरछी लंबाई, cos θ = क्षैतिज दूरी / तिरछी लंबाई
- अवनमन कोण = उन्नयन कोण (एकांतर कोण)
- tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3
- √3 ≈ 1.732, √2 ≈ 1.414
हल किए गए उदाहरण
1. मीनार के पाद से 30 m दूर बिंदु से चोटी का उन्नयन कोण 45° है। ऊँचाई निकालो।
tan 45° = h/30, h = 30 m।
2. पतंग की 60 m लंबी डोरी ज़मीन से 60° बनाती है। पतंग की ऊँचाई निकालो (डोरी सीधी है)।
sin 60° = h/60, h = 30√3 ≈ 51.96 m।
3. सूर्य का उन्नयन कोण 30° है तो खंभे की छाया 10√3 m है। खंभे की ऊँचाई निकालो।
tan 30° = h/(10√3), h = 10 m।
4. 75 m ऊँचे लाइटहाउस की चोटी से नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव कितनी दूर है?
नाव से उन्नयन कोण = 30°। tan 30° = 75/d, d = 75√3 ≈ 129.9 m।
5. सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन से 60° बनाती है। उसका पाद दीवार से 2.5 m दूर है। सीढ़ी की लंबाई निकालो।
cos 60° = 2.5/L, L = 5 m।
6. मीनार की ओर 20 m चलने पर उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। ऊँचाई निकालो।
ऊँचाई h, पास वाली दूरी x। tan 60° = h/x → h = √3 x। tan 30° = h/(x + 20) → √3 h = x + 20। x = h/√3 रखो: 3h = h + 20√3 → h = 10√3 ≈ 17.32 m।
7. ज़मीन के एक बिंदु से इमारत पर लगे 10 m झंडा-दंड के नीचे और ऊपर के उन्नयन कोण 45° और 60° हैं। इमारत की ऊँचाई निकालो।
tan 45° = h/d → d = h। tan 60° = (h + 10)/d → √3 h = h + 10 → h = 5(√3 + 1) ≈ 13.66 m।
आम गलतियाँ
- अवनमन कोण को क्षैतिज रेखा की जगह सीधी मीनार से नापना।
- ऊँचाई और ज़मीन की दूरी पता होने पर sin लगाना। ऊँचाई + ज़मीन → tan।
- आँख की ऊँचाई (जैसे 1.5 m लंबा लड़का) जोड़ना या घटाना भूल जाना।
- दो त्रिभुज वाले सवाल में पास वाले त्रिभुज के लिए पूरी दूरी ले लेना। हर त्रिभुज का आधार अलग है।