घातांक क्या है?
aⁿ में a को आधार (base) और n को घातांक (exponent) कहते हैं। इसका मतलब है a को n बार खुद से गुणा करना।
उदाहरण: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125। इसे “5 की घात 3” या “5 का घन” पढ़ते हैं।
चिह्न पर ध्यान दीजिए: (−3)² = 9, पर −3² = −9, क्योंकि बिना कोष्ठक के घात सिर्फ़ 3 पर लगती है।
मुख्य नियम (आधार एक ही हो)
- गुणन नियम: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (सारे गुणनखंड एक साथ गिनें)।
- भाग नियम: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0 (एक जैसे गुणनखंड कट जाते हैं)।
- घात की घात: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m गुणनखंडों के n समूह)।
- गुणनफल की घात: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ।
- भागफल की घात: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0।
ये नियम तभी लगते हैं जब आधार एक जैसे हों। 2³ × 3² को एक घात में नहीं जोड़ सकते।
शून्य और ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक
a⁵ ÷ a⁵ पर भाग नियम लगाइए। उत्तर 1 होना चाहिए (कोई संख्या खुद से भाग = 1), और नियम a⁰ देता है। इसलिए a⁰ = 1 (a ≠ 0)।
a² ÷ a⁵ = a⁻³, पर काटने पर 1/a³ मिलता है। इसलिए a⁻ⁿ = 1/aⁿ। ऋणात्मक घातांक से संख्या ऋणात्मक नहीं होती: 2⁻³ = 1/8।
आसान तरीका: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ। भिन्न पलट दीजिए और घातांक धनात्मक कर दीजिए।
मानक रूप में यही काम आता है: 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴।
परिमेय (भिन्नात्मक) और वास्तविक घातांक
(a^(1/2))² = a, इसलिए a^(1/2) = √a। सामान्य रूप से a^(1/n) = ⁿ√a और a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ (a > 0)।
उदाहरण: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4। पहले मूल निकालिए, संख्याएँ छोटी रहती हैं।
परिमेय घातांकों पर भी सारे नियम लगते हैं। 2^√2 जैसे अपरिमेय घातांक के लिए 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414... से पास पहुँचते हैं, इसलिए नियम सभी वास्तविक घातांकों पर चलते हैं (धनात्मक आधार के लिए)।
सरल चरघातांकी समीकरण
अगर एक ही आधार की दो घातें बराबर हों तो घातांक भी बराबर होंगे: aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) तो x = y।
उदाहरण: 3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴, इसलिए x + 1 = 4, x = 3।
उदाहरण: 4ˣ = 32। दोनों को 2 की घात में लिखिए: 2²ˣ = 2⁵, तो x = 2.5।
असली जीवन: हर घंटे दुगने होने वाले जीवाणु: N = 100 × 2ᵗ। N = 3200 कब? 2ᵗ = 32 = 2⁵, यानी t = 5 घंटे।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
हल किए गए उदाहरण
1. 3⁴ × 3² को सरल कीजिए।
आधार एक, गुणा → जोड़: 3⁴⁺² = 3⁶ = 729।
2. 7⁸ ÷ 7⁵ को सरल कीजिए।
आधार एक, भाग → घटाव: 7⁸⁻⁵ = 7³ = 343।
3. (2³)² × 2⁻⁴ का मान निकालिए।
(2³)² = 2⁶। फिर 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4।
4. (2/5)⁻² का मान निकालिए।
पलटिए और घातांक धनात्मक कीजिए: (5/2)² = 25/4 = 6.25।
5. 27^(2/3) + 16^(−1/2) का मान निकालिए।
27^(2/3) = (∛27)² = 9। 16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4। योग = 9.25।
6. (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹ को धनात्मक घातांकों में लिखिए।
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴। (x²y)⁻¹ से भाग = x²y से गुणा। तो x⁸y⁻³ = x⁸/y³।
7. 2ˣ × 4 = 128 हल कीजिए।
4 = 2², 128 = 2⁷। तो 2ˣ⁺² = 2⁷, x + 2 = 7, x = 5।
आम गलतियाँ
- गुणा में घातांकों का गुणा कर देना: 2³ × 2² = 2⁵ है, 2⁶ नहीं।
- आधारों को गुणा कर देना: 3² × 3⁴ = 3⁶ है, 9⁶ नहीं।
- सोचना कि ऋणात्मक घातांक से उत्तर ऋणात्मक होगा: 5⁻² = 1/25, जो धनात्मक है।
- सोचना कि a⁰ = 0: किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 = 1 होती है।