CBSE कक्षा 8 गणित (गणित प्रकाश)

1. वर्ग और घन

वर्ग संख्याएँ · घन संख्याएँ · इतिहास की झलक

• वर्गमूल: वर्ग बनाओ, उसकी भुजा खोजो – किसी संख्या n का वर्गमूल वह संख्या है जिसे खुद से गुणा करने पर n मिले। √25 = 5, क्योंकि 5 × 5 = 25। n टाइलों को वर्ग में जमाओ: भुजा ही वर्गमूल है। पूर्ण वर्ग (1, 4, 9, 16, …) के वर्गमूल पूर्ण संख्याएँ हैं। बाकी वर्गमूल अपरिमेय होते हैं और दो पूर्ण संख्याओं के बीच आते हैं; उनका अनुमान लगाते हैं या उन्हें सरल करते हैं, जैसे √50 = 5√2।
• घन और घनमूल – किसी संख्या n का घन n × n × n = n³ होता है। यह उतने छोटे ब्लॉक हैं जितने उस घन में लगते हैं जिसके हर किनारे पर n ब्लॉक हों। पूर्ण घन वह पूर्ण संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या का घन हो (1, 8, 27, 64, 125 …)। घनमूल ∛ उल्टा काम करता है: ∛64 = 4, क्योंकि 4³ = 64। इसे अभाज्य गुणनखंडों को तीन-तीन के समूह में बाँटकर या अंतिम अंक से अनुमान लगाकर निकालते हैं। 1729 सबसे छोटी संख्या है जो दो घनों के योग के रूप में दो तरह से लिखी जा सकती है।

2. घातों का खेल

घातों से वृद्धि · घातांकीय संकेतन और संक्रियाएँ · घातों का दूसरा पहलू · 10 की घातें

• घातांक के नियम – घातांक बताता है कि आधार को कितनी बार खुद से गुणा किया गया। एक ही आधार हो तो: गुणा → घातांक जोड़ें, भाग → घटाएँ, घात की घात → गुणा करें। a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ और a^(1/n) = n-वाँ मूल।
• वैज्ञानिक संकेतन (मानक रूप) – वैज्ञानिक संकेतन में हर संख्या को a × 10ⁿ लिखते हैं, जहाँ 1 ≤ a < 10 और n एक पूर्णांक है। बड़ी संख्या में दशमलव बाईं ओर खिसकता है और n धनात्मक होता है। छोटी संख्या में दशमलव दाईं ओर खिसकता है और n ऋणात्मक होता है। गुणा करने के लिए आगे की संख्याएँ गुणा करें और घातें जोड़ें; भाग में आगे की संख्याएँ भाग दें और घातें घटाएँ; फिर a को 1 और 10 के बीच कर दें। किलो (10³), मेगा (10⁶), मिली (10⁻³), माइक्रो (10⁻⁶), नैनो (10⁻⁹) जैसे उपसर्ग 10 की घातों के ही नाम हैं।

3. संख्याओं की कहानी

प्राचीन संख्या पद्धतियाँ · आधार की अवधारणा · स्थानीय मान निरूपण

• स्थानीय मान, क्रम और ऋणात्मक संख्याएँ – हमारी संख्या पद्धति में हर स्थान अपने दाएँ वाले स्थान से 10 गुना होता है। अंक का मान = अंक × उसके स्थान का मान। तुलना के लिए स्थान मिलाओ और बाएँ से जाँचो। ऋणात्मक संख्याएँ शून्य के बाईं ओर होती हैं; जितनी बाएँ, उतनी छोटी।
• संख्या के आधार: दस, दो और साठ के समूह – आधार उस समूह का आकार है जिसमें हम गिनते हैं। आधार 10 में दस-दस के गट्ठर बनते हैं, इसलिए हर स्थान अपने दाएँ वाले से 10 गुना होता है: इकाई, दहाई, सैकड़ा। आधार b में स्थान 1, b, b², b³ … होते हैं और सिर्फ़ 0 से b − 1 तक के अंक लगते हैं। कंप्यूटर आधार 2 (बाइनरी, अंक 0 और 1) में काम करता है। समय और कोण आज भी प्राचीन बेबीलोन का आधार 60 मानते हैं: 60 सेकंड का एक मिनट, 60 मिनट का एक घंटा।

4. चतुर्भुज

आयत और वर्ग · चतुर्भुज के कोण · समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज · पतंग और समलंब

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5. संख्याओं का खेल

गुणज और विभाज्यता · छिपे अंक

• विभाज्यता: गुणज, भाजक, म.स. और ल.स. – a, b से विभाज्य है जब a = b × k हो (k पूर्ण संख्या): तब b, a का भाजक (गुणनखंड) है और a, b का गुणज। हर पूर्ण संख्या a = b × q + r लिखी जा सकती है, जहाँ 0 ≤ r < b (शेषफल सहित भाग); r = 0 हो तो b, a को पूरा बाँटता है। अंकों को देखकर 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 और 11 से विभाज्यता जाँच सकते हैं। म.स. (महत्तम समापवर्तक, HCF/GCD) अभाज्य गुणनखंडों या यूक्लिड विधि से निकलता है; ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य, LCM) सबसे छोटा साझा गुणज है, और म.स. × ल.स. = a × b। जिनका म.स. 1 हो, वे सहअभाज्य हैं।
• गणितीय तर्क: नियम से सुलझने वाली पहेलियाँ – तर्क के प्रश्न जाँचते हैं कि तुम नियम पहचानकर उसे लगा सकते हो या नहीं। विषम पद: ज़्यादातर चीज़ों का साझा नियम खोजो। न्याय वाक्य: "सभी", "कुछ", "कोई नहीं" के घेरे बनाओ और सिर्फ़ वही मानो जो हर हाल में सच हो। रक्त संबंध: वंश-वृक्ष बनाओ। कूट-लेखन: अक्षर कैसे खिसकते हैं, देखो। छिपे अंक: स्थानीय मान, हासिल और सम-विषम से अंक निकालो।

6. हम बाँटते हैं फिर भी वस्तुएँ गुणा होती हैं

गुणन के गुण · विशेष गुणनफल

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7. आनुपातिक तर्क – 1

अनुपात · अनुपात में बाँटना और इकाई रूपांतरण

• अनुपात और समानुपात – अनुपात a : b एक ही तरह की दो मात्राओं की तुलना है। दोनों भागों को एक ही संख्या से भाग देकर अनुपात सरल करते हैं। किसी राशि को अनुपात में बाँटने के लिए भाग जोड़ो, एक भाग निकालो, फिर गुणा करो। y = k·x हो तो प्रत्यक्ष समानुपात (एक दोगुना, दूसरा दोगुना); x·y = k हो तो व्युत्क्रम समानुपात (एक दोगुना, दूसरा आधा)।

8. छिपे हुए भिन्न

प्रतिशत

• प्रतिशत – प्रतिशत का अर्थ है "100 में से", इसलिए x% = x/100। किसी राशि का x% निकालने के लिए उसे x/100 से गुणा करें। प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल) × 100। r% बढ़ाने के लिए (1 + r/100) से, r% घटाने के लिए (1 − r/100) से गुणा करें। क्रमागत परिवर्तनों में गुणकों को गुणा करते हैं। उल्टे प्रतिशत में नए मान को गुणक से भाग देते हैं।

9. बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय

वर्ग को दुगुना और आधा करना · प्रमेय और त्रिक

• पाइथागोरस प्रमेय – किसी भी समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा (कर्ण) का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: a² + b² = c²।

10. आनुपातिक तर्क – 2

मानचित्र और बहुपदीय अनुपात · व्युत्क्रम समानुपात

• अनुपात और समानुपात – अनुपात a : b एक ही तरह की दो मात्राओं की तुलना है। दोनों भागों को एक ही संख्या से भाग देकर अनुपात सरल करते हैं। किसी राशि को अनुपात में बाँटने के लिए भाग जोड़ो, एक भाग निकालो, फिर गुणा करो। y = k·x हो तो प्रत्यक्ष समानुपात (एक दोगुना, दूसरा दोगुना); x·y = k हो तो व्युत्क्रम समानुपात (एक दोगुना, दूसरा आधा)।

11. कुछ ज्यामितीय विषयों की खोज

फ्रैक्टल · ठोसों की कल्पना

• फ्रैक्टल और सियरपिंस्की त्रिभुज – फ्रैक्टल ऐसा पैटर्न है जो एक ही नियम को बार-बार दोहराकर बनता है, इसलिए उसका छोटा हिस्सा पूरे जैसा दिखता है। इसे स्व-समानता कहते हैं। सियरपिंस्की त्रिभुज में हर बार हर त्रिभुज का बीच वाला भाग हटाते हैं: त्रिभुजों की संख्या 1, 3, 9, 27 … (3ⁿ) होती है और बचा क्षेत्रफल हर बार 3/4 गुना हो जाता है।
• ठोस आकृतियाँ: फलक, किनारे, शीर्ष, जाल और दृश्य – ठोस (3D) आकृति में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों होती हैं, इसलिए वह जगह घेरती है। हम उसे फलक (सपाट या मुड़ी सतह), किनारे (जहाँ दो फलक मिलते हैं) और शीर्ष (कोने) गिनकर पहचानते हैं। प्रिज़्म के दो बराबर सिरे आयतों से जुड़े होते हैं; पिरामिड का एक आधार होता है और त्रिभुज एक नोक पर मिलते हैं; बेलन, शंकु और गोले की सतह मुड़ी होती है। जाल (net) एक समतल नक्शा है जो मुड़कर ठोस बनता है। ऊपर, सामने और बगल से देखने पर तीन दृश्य मिलते हैं। सपाट फलकों वाले हर ठोस के लिए फलक + शीर्ष − किनारे = 2 (ऑयलर नियम)।

12. बिंदुओं और रेखाओं की कहानियाँ

औसत · आँकड़ों का निरूपण

• आँकड़ों का निरूपण: बिंदु आलेख, दंड आलेख, आयतचित्र और रेखा आलेख – आलेख संख्याओं की सूची को चित्र बना देता है। बिंदु आलेख में संख्या-रेखा पर हर वस्तु के लिए एक बिंदु लगता है। दंड आलेख अलग-अलग श्रेणियों की तुलना करता है, दंडों के बीच जगह होती है। आयतचित्र (histogram) वर्ग-अंतरालों में बँटे आँकड़े दिखाता है, दंड सटे होते हैं। रेखा आलेख समय के साथ बदलाव दिखाता है। अगर अक्ष 0 से शुरू न हो, पैमाना असमान हो या चित्र ग़लत आकार के हों, तो आलेख भ्रम पैदा कर सकता है।

13. बीजगणित का खेल

पहेलियों का बीजगणित

• एक चर वाले रैखिक समीकरण – एक चर वाले रैखिक समीकरण में एक ही अज्ञात राशि (जैसे x) होती है और उसकी घात 1 होती है, जैसे 2x + 3 = 11। समीकरण एक तराज़ू जैसा है: दोनों पक्ष बराबर हैं। हल करने के लिए दोनों पक्षों पर एक जैसा काम करो (एक ही संख्या जोड़ो, घटाओ, गुणा करो या शून्य के अलावा किसी संख्या से भाग दो), जब तक x अकेला न रह जाए। आख़िर में उत्तर वापस रखकर जाँच ज़रूर करो।

14. क्षेत्रफल

चतुर्भुजों और त्रिभुजों का क्षेत्रफल

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