गुणज, भाजक और शेषफल सहित भाग
हम प्राकृत/पूर्ण संख्याओं ℕ = {0, 1, 2, 3, …} और पूर्णांकों ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} के साथ काम करते हैं।
b, a को विभाजित करता है (b | a) यदि a = b × k किसी पूर्णांक k के लिए। तब b, a का भाजक (गुणनखंड) है और a, b का गुणज। जैसे 3 | 12 क्योंकि 12 = 3 × 4।
शेषफल सहित भाग: किसी भी पूर्ण संख्या a और b > 0 के लिए एक ही जोड़ी q, r मिलती है जिससे a = b × q + r और 0 ≤ r < b। q भागफल है, r शेषफल। 14 = 4 × 3 + 2। r = 0 हो तभी b, a को पूरा बाँटता है।
तथ्य: 1 हर संख्या को बाँटता है; हर संख्या 0 को बाँटती है; यदि b | a और b | c तो b | (a + c) और b | (a − c)।
सम और विषम संख्याएँ, सरल प्रमाण के साथ
सम संख्या 2 का गुणज है: n = 2k। विषम संख्या में 1 बचता है: n = 2k + 1।
प्रमाण: सम + सम = सम। 2a + 2b = 2(a + b), जो 2 का गुणज है।
प्रमाण: विषम × विषम = विषम। (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1, जो विषम है।
प्रमाण: n(n + 1) हमेशा सम है। लगातार दो संख्याओं में एक सम होती है, इसलिए गुणनफल में 2 का गुणनखंड है।
प्रमाण के लिए संख्याएँ अक्षरों में लिखो (2k, 2k + 1, 3k …) और सरल करो। एक उदाहरण नियम सिद्ध नहीं करता, पर एक उल्टा उदाहरण उसे ग़लत सिद्ध कर देता है।
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 और 11 की विभाज्यता के नियम
| से | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, 8 | 358 ✓ |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य | 471: 4+7+1 = 12 ✓ |
| 4 | आख़िरी दो अंकों की संख्या 4 से विभाज्य | 1316: 16 ✓ |
| 5 | इकाई का अंक 0 या 5 | 945 ✓ |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य | 714 ✓ |
| 8 | आख़िरी तीन अंकों की संख्या 8 से विभाज्य | 5120: 120 ✓ |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य | 3825: 18 ✓ |
| 10 | इकाई का अंक 0 | 860 ✓ |
| 11 | दाईं ओर से अंकों को बारी-बारी जोड़ो-घटाओ (+ − + …); परिणाम 11 से विभाज्य | 2728: 8 − 2 + 7 − 2 = 11 ✓ |
3 और 9 का नियम क्यों: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1, और 9, 99, 999 सब 9 के गुणज हैं। इसलिए संख्या और उसके अंकों का योग 9 (या 3) से भाग देने पर एक ही शेषफल देते हैं।
11 का नियम क्यों: 10 = 11 − 1, इसलिए 10 की घातें 11 से भाग देने पर +1, −1, +1, … शेष देती हैं।
4 और 8 का नियम क्यों: 100, 4 का गुणज है और 1000, 8 का; इसलिए केवल आख़िरी दो (या तीन) अंक मायने रखते हैं।
अभाज्य संख्याएँ, म.स., ल.स. और सहअभाज्य संख्याएँ
अभाज्य संख्या के ठीक दो भाजक होते हैं, 1 और वह स्वयं (2, 3, 5, 7, 11, 13 …)। 1 से बड़ी हर संख्या अभाज्य संख्याओं का गुणनफल केवल एक ही तरह से होती है: 360 = 2³ × 3² × 5।
म.स. (महत्तम समापवर्तक, HCF/GCD): वह सबसे बड़ी संख्या जो दोनों को बाँटे। साझा अभाज्य छोटी घात के साथ लो। 72 = 2³ × 3², 60 = 2² × 3 × 5 → म.स. = 2² × 3 = 12।
ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य, LCM): सबसे छोटी संख्या जिसे दोनों बाँटें। हर अभाज्य बड़ी घात के साथ लो: ल.स. = 2³ × 3² × 5 = 360।
हमेशा म.स. × ल.स. = a × b: 12 × 360 = 72 × 60 = 4320।
सहअभाज्य संख्याओं का म.स. 1 होता है, जैसे 8 और 15। भिन्न सरलतम रूप में तब है जब अंश और हर सहअभाज्य हों: दोनों को उनके म.स. से भाग दो। 60/72 → ÷12 → 5/6।
यूक्लिड विधि और पूर्णांक समीकरण
मुख्य बात: म.स.(a, b) = म.स.(b, r), जहाँ r, a ÷ b का शेषफल है। शेषफल 0 आने तक भाग देते रहो; आख़िरी अशून्य शेषफल ही म.स. है।
म.स.(252, 198): 252 = 198 × 1 + 54; 198 = 54 × 3 + 36; 54 = 36 × 1 + 18; 36 = 18 × 2 + 0 → म.स. = 18।
3D में यही आयत से बार-बार सबसे बड़ा वर्ग काटना है।
पूर्णांक (डायोफैंटाइन) समीकरण ax + by = c के पूर्णांक हल तभी होते हैं जब म.स.(a, b), c को बाँटे। 6x + 9y = 20 का कोई हल नहीं (3, 20 को नहीं बाँटता)। 3x + 5y = 1 का एक हल x = 2, y = −1; सभी हल x = 2 + 5t, y = −1 − 3t।
करके देखो
30 छोटी चीज़ें लो (राजमा, सिक्के)। इन्हें 2, 3, 4, 5, 6, 7 के बराबर समूहों में बाँटो। किनमें कुछ नहीं बचता? वही 30 के भाजक हैं। अपने फ़ोन नंबर के आख़िरी चार अंक लिखो और नियमों से 3, 4, 9 और 11 की जाँच करो, फिर कैलकुलेटर से मिलाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- b | a ⇔ a = b × k (k पूर्णांक)
- शेषफल सहित भाग: a = b × q + r, 0 ≤ r < b
- सम: 2k; विषम: 2k + 1
- म.स.(a, b) = म.स.(b, a ÷ b का शेषफल)
- म.स.(a, b) × ल.स.(a, b) = a × b
- ax + by = c के पूर्णांक हल ⇔ म.स.(a, b) | c
हल किए गए उदाहरण
1. 59 को 7 से शेषफल सहित भाग दो।
7 × 8 = 56, 59 − 56 = 3। तो 59 = 7 × 8 + 3; भागफल 8, शेषफल 3।
2. क्या 7128, 8 से विभाज्य है? 9 से?
आख़िरी तीन अंक 128 = 8 × 16, तो 8 से हाँ। अंकों का योग 7 + 1 + 2 + 8 = 18, 9 से विभाज्य, तो 9 से भी हाँ।
3. क्या 91916, 11 से विभाज्य है?
दाईं ओर से: 6 − 1 + 9 − 1 + 9 = 22, जो 11 का गुणज है। हाँ।
4. 84 और 120 का म.स. और ल.स. अभाज्य गुणनखंड से निकालो।
84 = 2² × 3 × 7, 120 = 2³ × 3 × 5। म.स. = 2² × 3 = 12। ल.स. = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840। जाँच: 12 × 840 = 10080 = 84 × 120।
5. यूक्लिड विधि से म.स.(391, 299) निकालो।
391 = 299 × 1 + 92; 299 = 92 × 3 + 23; 92 = 23 × 4 + 0। म.स. = 23।
6. सिद्ध करो कि लगातार तीन पूर्णांकों का योग 3 से विभाज्य है।
मान लो n, n + 1, n + 2। योग = 3n + 3 = 3(n + 1), जो 3 का गुणज है।
7. अंक x निकालो ताकि 4x56, 9 से विभाज्य हो।
4 + x + 5 + 6 = 15 + x, 9 का गुणज होना चाहिए। 15 + x = 18 → x = 3। संख्या: 4356।
आम गलतियाँ
- 4 या 8 के लिए अंकों का योग लेना। योग वाला नियम केवल 3 और 9 के लिए है।
- कहना कि 2 और 4 से विभाज्य संख्या 8 से भी विभाज्य होगी। 12, 2 और 4 से विभाज्य है पर 8 से नहीं (2 और 4 सहअभाज्य नहीं)।
- भाजक से बड़ा शेषफल लिखना, जैसे 30 = 7 × 3 + 9। शेषफल 7 से कम हो: 30 = 7 × 4 + 2।
- 1 को अभाज्य कहना। अभाज्य के ठीक दो भाजक चाहिए; 1 का एक ही है।