France Terminale Expert Mathematics
अध्याय: 3
1. Complex numbers
Algebraic form, conjugate, equations · Modulus, argument, exponential form, roots of unity
- सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण – x² + 1 = 0 जैसे समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है, क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। इसलिए एक नई संख्या i ली गई, जिसमें i² = −1। सम्मिश्र संख्या z = a + ib है: a वास्तविक भाग और b काल्पनिक भाग। जोड़, घटाव, गुणा साधारण बीजगणित जैसे होते हैं, बस i² की जगह −1 लिखें। भाग के लिए ऊपर-नीचे हर के संयुग्मी से गुणा करें। आर्गंड तल पर a + ib बिंदु (a, b) है। संयुग्मी a − ib वास्तविक अक्ष में उसका दर्पण प्रतिबिंब है और मापांक √(a² + b²) मूल बिंदु से दूरी है। जब D = b² − 4ac < 0 हो, तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल सम्मिश्र और एक-दूसरे के संयुग्मी होते हैं।
2. Arithmetic
Divisibility, Euclidean division, congruences · GCD, Bezout and Gauss theorems · Prime numbers
- मॉड्यूलर अंकगणित: शेषफल और सर्वांगसमता – यूक्लिड विभाजन किसी भी पूर्णांक a को a = n × q + r लिखता है, जहाँ 0 ≤ r < n। शेषफल r को "a mod n" कहते हैं। दो संख्याएँ मॉड्यूलो n सर्वांगसम (a ≡ b mod n) हैं जब उनका शेषफल समान हो, यानी n, a − b को विभाजित करे। सर्वांगसमताओं को जोड़, घटा, गुणा और घात कर सकते हैं, इसलिए बड़ी संख्याओं का शेषफल छोटी संख्याओं से निकलता है। घातों के शेषफल चक्र में दोहराते हैं।
- विभाज्यता: गुणज, भाजक, म.स. और ल.स. – a, b से विभाज्य है जब a = b × k हो (k पूर्ण संख्या): तब b, a का भाजक (गुणनखंड) है और a, b का गुणज। हर पूर्ण संख्या a = b × q + r लिखी जा सकती है, जहाँ 0 ≤ r < b (शेषफल सहित भाग); r = 0 हो तो b, a को पूरा बाँटता है। अंकों को देखकर 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 और 11 से विभाज्यता जाँच सकते हैं। म.स. (महत्तम समापवर्तक, HCF/GCD) अभाज्य गुणनखंडों या यूक्लिड विधि से निकलता है; ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य, LCM) सबसे छोटा साझा गुणज है, और म.स. × ल.स. = a × b। जिनका म.स. 1 हो, वे सहअभाज्य हैं।
- अंकगणित की आधारभूत प्रमेय – 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या या तो अभाज्य है, या अभाज्य संख्याओं का गुणनफल — और यह गुणनफल सिर्फ एक ही तरह से बनता है (क्रम बदल सकता है)। यही अंकगणित की आधारभूत प्रमेय है। HCF = सार्व अभाज्यों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल; LCM = सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल। दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = a × b.
3. Graphs and matrices
Matrix calculations · Graphs, random walks, Markov chains
- आव्यूह (Matrices): कोटि, प्रकार, परिवर्त, संक्रियाएँ और व्युत्क्रम – आव्यूह संख्याओं का एक डिब्बा है जिसमें संख्याएँ पंक्तियों और स्तंभों में रखी होती हैं। इसकी कोटि = पंक्तियाँ × स्तंभ। शून्य, तत्समक, विकर्ण, अदिश, पंक्ति, स्तंभ और वर्ग आव्यूह इसके खास प्रकार हैं। परिवर्त में पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैं। Aᵀ = A हो तो सममित, Aᵀ = −A हो तो विषम-सममित। योग जगह-जगह करते हैं, गुणन पंक्ति × स्तंभ से। आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है (AB प्रायः BA नहीं)। यदि AB = BA = I हो तो B, A का व्युत्क्रम है और वह एक ही (अद्वितीय) होता है।
- ग्राफ़ सिद्धांत: बिंदु, रेखाएँ और नेटवर्क – ग्राफ़ शीर्षों (बिंदुओं) का समूह है जिन्हें किनारे (रेखाएँ) जोड़ते हैं। किसी शीर्ष की घात उसे छूने वाले किनारों की संख्या है, और सभी घातों का योग किनारों का दुगुना होता है। ऑयलर पथ हर किनारे का एक बार उपयोग करता है और तभी संभव है जब 0 या 2 शीर्ष विषम घात के हों। वृक्ष ऐसा जुड़ा ग्राफ़ है जिसमें चक्र नहीं और n − 1 किनारे हैं। भारित ग्राफ़ सड़कें और नेटवर्क दिखाते हैं; क्रुस्कल और प्रिम विधियाँ न्यूनतम विस्तृत वृक्ष ढूँढती हैं।