अभाज्य और भाज्य संख्याएँ (दोहराव)
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह खुद। जैसे 2, 3, 5, 7, 11, 13. भाज्य संख्या के दो से ज़्यादा गुणनखंड होते हैं, जैसे 4, 6, 60. 1 न अभाज्य है, न भाज्य। 2 अकेली सम अभाज्य संख्या है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय क्या है?
प्रमेय कहती है: हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय (एक ही) है, बस क्रम बदल सकता है।
60 को 2 × 30, 6 × 10 या 4 × 15 से शुरू करो, अंत में 2 × 2 × 3 × 5 ही मिलेगा। अभाज्य संख्याएँ परमाणु जैसी हैं: हर संख्या का अपना तय नुस्खा है।
हम इन्हें बढ़ते क्रम में घात के साथ लिखते हैं: 60 = 2² × 3 × 5.
अभाज्य गुणनखंड कैसे निकालें: गुणनखंड वृक्ष और भाग विधि
गुणनखंड वृक्ष: संख्या को किन्हीं दो गुणनखंडों में तोड़ो, तब तक तोड़ते रहो जब तक हर शाखा के अंत में अभाज्य न आ जाए।
बार-बार भाग: सबसे छोटे अभाज्य (2, फिर 3, फिर 5…) से भाग देते जाओ जब तक 1 न आए। जैसे 540 ÷ 2 = 270, ÷ 2 = 135, ÷ 3 = 45, ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5, ÷ 5 = 1. तो 540 = 2² × 3³ × 5.
प्रमेय का उपयोग: क्या 6ⁿ के अंत में 0 आ सकता है?
किसी संख्या के अंत में 0 तभी आता है जब वह 10 = 2 × 5 से विभाज्य हो, यानी उसके गुणनखंडों में 5 होना चाहिए। पर 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ में सिर्फ 2 और 3 हैं। गुणनखंडन अद्वितीय है, इसलिए 5 कभी नहीं आ सकता। अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 नहीं हो सकता।
अभाज्य गुणनखंड विधि से HCF और LCM
दोनों संख्याओं को अभाज्य घातों के गुणनफल में लिखो।
- HCF (महत्तम समापवर्तक) = हर सार्व (साझा) अभाज्य की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
- LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) = हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
उदाहरण: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². HCF = 2 × 3 = 6. LCM = 2² × 3² = 36.
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
किन्हीं दो धन पूर्णांकों a और b के लिए: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b. जाँच: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. कारण: हर अभाज्य की छोटी घात HCF में और बड़ी घात LCM में जाती है, दोनों मिलकर a और b के सारे गुणनखंड पूरे कर देते हैं।
ध्यान दो: तीन संख्याओं के लिए यह नियम सही नहीं है।
सह-अभाज्य संख्याएँ
दो संख्याएँ सह-अभाज्य हैं अगर उनका HCF 1 हो (कोई साझा अभाज्य नहीं), जैसे 8 और 15. तब LCM = a × b = 120.
करके देखो: घर पर प्रयोग
12 लाल और 18 नीले मोती (या बटन) लो। हर रंग को अभाज्य गुच्छों में बाँटो: 12 → 2, 2, 3 और 18 → 2, 3, 3. मिलते-जुलते गुच्छे आमने-सामने रखो। साझा गुच्छे (2 और 3) का गुणनफल HCF = 6 है। फिर ऊपर 3D के आखिरी चरण में अपनी संख्याएँ डालो। पहले अनुमान लगाओ, फिर जाँचो।
बोर्ड परीक्षा के लिए
संख्या पद्धति इकाई के लगभग 6 अंक हैं। आम प्रश्न: अभाज्य गुणनखंड से HCF और LCM (2–3 अंक), HCF × LCM = a × b से दूसरी संख्या (1–2 अंक), 6ⁿ या 4ⁿ के अंत में 0 आ सकता है या नहीं (2 अंक), और बस, घंटी, रिबन वाले शब्द प्रश्न (3 अंक)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- n = p₁^a × p₂^b × … (अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन)
- HCF = सार्व अभाज्यों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल
- LCM = सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल
- HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
- सह-अभाज्य: HCF = 1, LCM = a × b
हल किए गए उदाहरण
1. 84 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में लिखो।
84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7. अतः 84 = 2² × 3 × 7.
2. 3825 का अभाज्य गुणनखंडन करो।
3825 ÷ 3 = 1275, ÷ 3 = 425, ÷ 5 = 85, ÷ 5 = 17 (अभाज्य)। अतः 3825 = 3² × 5² × 17.
3. अभाज्य गुणनखंड विधि से 24 और 90 का HCF और LCM निकालो।
24 = 2³ × 3, 90 = 2 × 3² × 5. HCF = 2 × 3 = 6. LCM = 2³ × 3² × 5 = 360. जाँच: 6 × 360 = 2160 = 24 × 90 ✓
4. दो संख्याओं का HCF 9 और LCM 360 है। एक संख्या 45 है। दूसरी संख्या बताओ।
a × b = 9 × 360 = 3240. दूसरी संख्या = 3240 ÷ 45 = 72.
5. 8, 12 और 20 का HCF और LCM निकालो।
8 = 2³, 12 = 2² × 3, 20 = 2² × 5. HCF = 2² = 4. LCM = 2³ × 3 × 5 = 120. (यहाँ 4 × 120 ≠ 8 × 12 × 20.)
6. दिखाओ कि 4ⁿ के अंत में अंक 0 कभी नहीं आ सकता।
4ⁿ = 2²ⁿ. अंत में 0 के लिए गुणनखंड 5 चाहिए। आधारभूत प्रमेय से 4ⁿ में सिर्फ अभाज्य 2 है, इसलिए 5 इसे नहीं बाँटता। अतः 4ⁿ के अंत में 0 नहीं आता।
7. समझाओ कि 7 × 11 × 13 + 13 भाज्य संख्या क्यों है।
7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (77 + 1) = 13 × 78. इसके 1 और खुद के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए यह भाज्य है।
8. दो घंटियाँ हर 20 मिनट और 30 मिनट पर बजती हैं। सुबह 9:00 बजे साथ बजीं। अगली बार कब साथ बजेंगी?
20 = 2² × 5, 30 = 2 × 3 × 5. LCM = 2² × 3 × 5 = 60 मिनट। अगली बार सुबह 10:00 बजे।
आम गलतियाँ
- HCF में सबसे बड़ी घात ले लेना। HCF में सिर्फ साझा अभाज्यों की सबसे छोटी घात लेते हैं।
- LCM निकालते समय वह अभाज्य भूल जाना जो सिर्फ एक संख्या में है। LCM में हर अभाज्य चाहिए।
- तीन संख्याओं पर HCF × LCM = गुणनफल लगाना। यह सिर्फ दो संख्याओं के लिए है।
- 1 को अभाज्य मानना, या गुणनखंड वृक्ष को 9 या 15 जैसे भाज्य पत्ते पर रोक देना।