विषम पद और संख्या श्रेणी
विषम पद (odd one out) में एक को छोड़ सब एक ही नियम मानते हैं। इस क्रम में नियम जाँचो:
- सम / विषम, अभाज्य / भाज्य
- वर्ग (1, 4, 9, 16…), घन (1, 8, 27…)
- किसी संख्या के गुणज
- अंकों का जोड़, अक्षरों की गिनती, स्वर
- वर्ग (फल, धातु, ग्रह, मात्रक)
उदाहरण: 121, 144, 169, 180, 196 → 180 पूर्ण वर्ग नहीं।
श्रेणी में अंतर खोजो: 3, 7, 15, 31, ? → अंतर 4, 8, 16, अगला 32 → 63।
घेरों से न्याय वाक्य
न्याय वाक्य (syllogism) में कथन दिए जाते हैं (अजीब लगें तब भी सच मानो) और पूछा जाता है कौन-सा निष्कर्ष ज़रूर निकलता है।
- सभी A, B हैं: A का घेरा पूरा B के अंदर।
- कुछ A, B हैं: घेरे आपस में कटते हैं।
- कोई A, B नहीं: घेरे अलग।
निष्कर्ष तभी सही है जब वह हर संभव चित्र में सच हो। एक चित्र भी उसे तोड़ दे, तो वह नहीं निकलता। जब दो उलटे निष्कर्ष मिलकर सब हालात ढक लें, तो उत्तर "कोई एक निकलता है"।
रक्त संबंध
पेड़ बनाओ: हर पीढ़ी एक पंक्ति में, पुरुष के लिए वर्ग, स्त्री के लिए वृत्त, पति-पत्नी के लिए आड़ी रेखा, माता-पिता से संतान तक खड़ी रेखा।
- पिता का भाई: चाचा; पिता की बहन: बुआ; माँ का भाई: मामा; माँ की बहन: मौसी।
- बेटे की पत्नी: बहू। बहन का पति: जीजा।
- "मेरे दादा का इकलौता बेटा" = मेरे पिता।
वाक्य को अंत से शुरू की ओर पढ़ो: "A, B की माँ के भाई का बेटा है" → B की माँ → उनका भाई (B के मामा) → उनका बेटा; यानी A, B का ममेरा भाई।
कूट-लेखन और कूट-वाचन
हर अक्षर का अंक: A = 1, B = 2 … Z = 26। उलटे अक्षरों का जोड़ 27 (A↔Z, B↔Y)।
- खिसकाव कूट: हर अक्षर बराबर खिसके (+2: CAT → ECV)।
- उलटा कूट: अक्षर उलटे क्रम में या उलटे अक्षर से बदले (A↔Z)।
- अंक कूट: शब्द = अक्षरों के अंकों का जोड़ (CAT = 3 + 1 + 20 = 24)।
- मिश्रित कूट: विषम और सम स्थानों पर अलग खिसकाव।
नियम को हर अक्षर पर जाँचो।
छिपे अंक और सम-विषम
छिपे अंक (cryptarithm) में हर अक्षर एक अंक है; अलग अक्षर, अलग अंक; कोई संख्या 0 से शुरू नहीं होती।
औज़ार: (1) पहले इकाई का स्तंभ, (2) हासिल पर ध्यान, (3) लंबे उत्तर का पहला अंक अक्सर 1, (4) सम-विषम।
सम-विषम (parity): सम + सम = सम, विषम + विषम = सम, सम + विषम = विषम। विषम × विषम = विषम; सम × कुछ भी = सम। क्या पाँच विषम संख्याओं का जोड़ 20 हो सकता है? नहीं, जोड़ विषम होगा।
हल: AB + BA = 121 → 11(A + B) = 121, तो A + B = 11 (जैसे 29 + 92)।
घर पर करके देखो
+3 खिसकाव से एक गुप्त संदेश लिखो और दोस्त को सिर्फ़ एक संकेत दो। दादा-दादी तक अपना वंश-वृक्ष बनाओ और उससे तीन रिश्तों वाली पहेलियाँ बनाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- A = 1, B = 2, … Z = 26; उलटे अक्षरों का जोड़ 27
- सभी A, B → A अंदर B; कुछ → कटते घेरे; कोई नहीं → अलग
- सम + सम = सम; विषम + विषम = सम; सम + विषम = विषम
- विषम × विषम = विषम; सम × कुछ भी = सम
- दो अंकों की AB = 10A + B; AB + BA = 11(A + B)
हल किए गए उदाहरण
1. विषम पद: 8, 27, 64, 100, 125।
8, 27, 64, 125 घन हैं (2³, 3³, 4³, 5³)। 100 घन नहीं। उत्तर: 100।
2. कथन: सभी पेन औज़ार हैं। कोई औज़ार भोजन नहीं। निष्कर्ष: (I) कोई पेन भोजन नहीं। (II) कुछ औज़ार पेन हैं।
पेन घेरा औज़ार के अंदर; भोजन औज़ार से अलग। इसलिए I और II दोनों निकलते हैं।
3. एक लड़के की ओर इशारा कर सारा कहती है, "यह मेरे दादा के इकलौते बेटे का बेटा है।" संबंध?
दादा का इकलौता बेटा = सारा के पिता। उनका बेटा = सारा का भाई।
4. MATH का कूट NBUI है, तो CODE का?
हर अक्षर +1: CODE → DPEF।
5. AB + BA = 132 में सबसे बड़ा AB?
11(A + B) = 132, A + B = 12। सबसे बड़ा: 93 (93 + 39 = 132)।
6. क्या 7 विषम संख्याओं का जोड़ 50 हो सकता है?
6 विषम का जोड़ सम, 7वाँ विषम जोड़ने पर विषम। 50 सम है, इसलिए असंभव।
आम गलतियाँ
- न्याय वाक्य में दिए कथनों की जगह अपनी दुनिया की जानकारी लगाना।
- ऐसा निष्कर्ष मान लेना जो एक चित्र में सच हो, पर सब में नहीं।
- पेड़ बनाए बिना रक्त संबंध में पीढ़ियाँ मिला देना।
- कूट को सिर्फ़ एक अक्षर पर जाँचना, पूरे शब्द पर नहीं।