पूर्ण संख्याओं में स्थानीय मान
हम सिर्फ़ दस अंकों 0 से 9 से सारी संख्याएँ लिखते हैं। अंक का स्थान बताता है कि वह कितने का है। दाएँ से स्थान हैं: इकाई, दहाई, सैकड़ा, हज़ार, दस हज़ार…
अंक का मान = अंक × उसके स्थान का मान। 3 452 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 2 × 1। इसे विस्तारित रूप कहते हैं।
अंक खुद (4) उसका अंकित मान है। वह जितने का है (400), वह उसका स्थानीय मान है।
शून्य: जगह भरने वाला
2 705 में 0 बताता है कि दहाई में कुछ नहीं है। इसके बिना 275 बिल्कुल अलग संख्या बन जाती।
बड़ी संख्याएँ
भारत में लाख और करोड़ चलते हैं: 10,00,000 = 10 लाख। अंतरराष्ट्रीय पद्धति में यही 1 000 000 = 1 मिलियन है। स्थानीय मान वही रहते हैं; सिर्फ़ अल्पविराम की जगह बदलती है।
दशमलव: एक से छोटे स्थान
दशमलव बिंदु के बाद स्थान 10-10 गुना छोटे होते जाते हैं: दसवाँ (0.1), सौवाँ (0.01), हज़ारवाँ (0.001)।
0.36 = 3 दसवाँ + 6 सौवाँ = 0.3 + 0.06।
10 से गुणा करने पर हर अंक एक स्थान बाएँ जाता है: 4.27 × 10 = 42.7। 10 से भाग देने पर एक स्थान दाएँ: 4.27 ÷ 10 = 0.427।
<, > और = से तुलना और क्रम
< का अर्थ "से छोटा", > का अर्थ "से बड़ा", = का अर्थ "बराबर"। चिह्न का खुला मुँह बड़ी संख्या की ओर होता है।
तरीका: 1) संख्याओं को दशमलव बिंदु पर एक सीध में लिखो। 2) खाली दशमलव स्थानों में शून्य लगाओ। 3) बाएँ से अंक मिलाओ। जहाँ पहली बार अंक अलग हों, वहीं फ़ैसला।
उदाहरण: 0.5 और 0.47 → 0.50 और 0.47 → दसवाँ: 5 > 4, इसलिए 0.5 > 0.47। ज़्यादा अंकों वाला दशमलव हमेशा बड़ा नहीं होता।
आरोही क्रम = छोटे से बड़ा। अवरोही = बड़े से छोटा।
ऋणात्मक संख्याएँ और संख्या रेखा
पूर्णांक = पूर्ण संख्याएँ, उनकी ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
संख्या रेखा पर दाईं ओर संख्याएँ बढ़ती हैं। हर ऋणात्मक संख्या 0 से और हर धनात्मक संख्या से छोटी है।
दो ऋणात्मक संख्याओं में जो शून्य से ज़्यादा दूर है, वह छोटी है: −7 < −2। सोचो: ₹700 का उधार ₹200 के उधार से बुरा है।
ऋणात्मक संख्याएँ 0 °C से नीचे का तापमान, ज़मीन के नीचे की मंज़िल (−1 तहखाना), समुद्र तल से नीचे की ऊँचाई और उधार दिखाती हैं।
करके देखो
घर से 5 बिल या कीमत की पर्चियाँ लो। हर रकम को स्थानीय मान सारणी (हज़ार से सौवाँ तक) में लिखो। फिर सबसे सस्ती से सबसे महँगी तक क्रम में रखो। 3D के आख़िरी चरण में हर रकम लिखकर मीनारें जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अंक का मान = अंक × स्थानीय मान
- हर स्थान = दाएँ वाले स्थान × 10
- 1 = 10 दसवाँ = 100 सौवाँ = 1000 हज़ारवाँ
- a < b यानी संख्या रेखा पर a, b के बाईं ओर है
हल किए गए उदाहरण
1. 46 213 में 6 का मान लिखो।
6 हज़ार के स्थान पर है, इसलिए मान 6 × 1000 = 6000।
2. 7 305.04 को विस्तारित रूप में लिखो।
7 × 1000 + 3 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0.1 + 4 × 0.01 = 7000 + 300 + 5 + 0.04।
3. कौन बड़ा है: 0.7 या 0.65?
0.70 और 0.65 लिखो। दसवाँ: 7 > 6। इसलिए 0.7 > 0.65।
4. आरोही क्रम में लिखो: 3.08, 3.8, 3.008, 3.18।
बराबर लंबाई: 3.080, 3.800, 3.008, 3.180। दसवाँ फिर सौवाँ मिलाओ: 3.008 < 3.08 < 3.18 < 3.8।
5. < या > लगाओ: −9 ___ −4।
−9 शून्य से −4 से ज़्यादा बाईं ओर है, इसलिए −9 < −4।
6. छोटे से बड़े क्रम में: 2, −5, 0, −1, 4।
संख्या रेखा पर सबसे बाएँ से शुरू करो: −5, −1, 0, 2, 4।
आम गलतियाँ
- लंबे दशमलव को बड़ा मानना: 0.125, 0.3 से छोटा है क्योंकि 1 दसवाँ < 3 दसवाँ।
- अंकित मान और स्थानीय मान मिलाना: 582 में 8 का अंकित मान 8, स्थानीय मान 80 है।
- −8 > −3 कहना क्योंकि 8 > 3। ऋणात्मक में शून्य से ज़्यादा दूर = छोटा।
- शून्य भूल जाना: तीन हज़ार पाँच को 305 लिखना, जबकि सही 3005 है।