पूर्णांक क्या हैं?
पूर्णांक (integers) वे पूरी संख्याएँ हैं जिनके साथ चिह्न होता है: धनात्मक 1, 2, 3, …, ऋणात्मक −1, −2, −3, … और शून्य। शून्य न धनात्मक है न ऋणात्मक।
हर पूर्णांक की एक उल्टी संख्या होती है (योज्य प्रतिलोम)। 5 की उल्टी −5 है। संख्या + उसकी उल्टी = 0।
निरपेक्ष मान |a| यानी 0 से दूरी। यह कभी ऋणात्मक नहीं होता: |−7| = 7।
चिह्न वाली दशमलव संख्याएँ
−2.5 या −0.75 पूर्णांक नहीं हैं, पर इन पर भी बिल्कुल यही नियम लगते हैं।
संख्या रेखा पर पूर्णांकों का क्रम
संख्या रेखा पर दाएँ जाते-जाते संख्या बड़ी होती जाती है।
- हर धनात्मक संख्या हर ऋणात्मक संख्या से बड़ी है: 1 > −100।
- दो ऋणात्मक में जो 0 के ज़्यादा पास है, वह बड़ा है: −2 > −7।
तापमान से सोचो: −2 °C, −7 °C से गरम है।
पूर्णांकों का जोड़ और घटाव
जोड़
पहली संख्या से शुरू करो। धनात्मक जोड़ो तो दाएँ, ऋणात्मक जोड़ो तो बाएँ चलो।
- एक जैसे चिह्न: माप जोड़ो, चिह्न वही रखो। −3 + (−4) = −7।
- अलग चिह्न: बड़े माप में से छोटा घटाओ, बड़े माप वाली संख्या का चिह्न लगाओ। −8 + 5 = −3।
घटाव
घटाना = उल्टी संख्या जोड़ना: a − b = a + (−b)।
- 5 − 9 = 5 + (−9) = −4
- 2 − (−4) = 2 + 4 = 6
जोड़ और घटाव प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं, एक दूसरे को उलट देती हैं। अगर −3 + 8 = 5, तो 5 − 8 = −3। इससे उत्तर जाँचो।
गुणा और भाग: चिह्न के नियम
पहले सामान्य तरह से उत्तर का माप निकालो। फिर चिह्न तय करो:
- (+) × (+) = + और (−) × (−) = +
- (+) × (−) = − और (−) × (+) = −
भाग में भी यही: −12 ÷ (−4) = 3 और 12 ÷ (−4) = −3।
ऋण × ऋण धन क्यों?
पैटर्न देखो: 3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0। हर बार उत्तर 2 बढ़ता है। आगे: (−1) × (−2) = 2, (−2) × (−2) = 4। पैटर्न खुद उत्तर को धनात्मक बना देता है।
कई चिह्न
ऋण चिह्न गिनो। सम संख्या → +, विषम संख्या → −। (−1) × (−2) × (−3) = −6।
दशमलव
−2.5 × 4 = −10 और −1.2 ÷ (−0.4) = 3।
0 से भाग कभी नहीं होता।
गुणधर्म और मन से हिसाब
- क्रमविनिमेय: a + b = b + a, a × b = b × a। घटाव और भाग में नहीं।
- साहचर्य: (a + b) + c = a + (b + c); गुणा में भी।
- वितरण: a × (b + c) = a × b + a × c।
- तत्समक: a + 0 = a, a × 1 = a।
- प्रतिलोम: a + (−a) = 0।
मन की तरकीब: उल्टी संख्याएँ पहले मिलाओ। −17 + 25 + 17 = 25। वितरण नियम: −6 × 99 = −600 + 6 = −594।
संक्रियाओं का क्रम वही: कोष्ठक, घात, × ÷, फिर + −। ध्यान दो: (−3)² = 9 पर −3² = −9।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a − b = a + (−b)
- a + (−a) = 0
- (+)(+) = +, (−)(−) = +
- (+)(−) = −, (−)(+) = −
- |a| = 0 से a की दूरी
- a × (b + c) = a × b + a × c
हल किए गए उदाहरण
1. छोटे से बड़े क्रम में लिखो: 3, −8, 0, −2, −11।
संख्या रेखा पर बाएँ से दाएँ: −11, −8, −2, 0, 3।
2. −7 + 12 निकालो।
चिह्न अलग। माप 12 और 7; 12 − 7 = 5। बड़ा माप (12) धनात्मक है, उत्तर 5।
3. −4 − 9 निकालो।
उल्टी संख्या जोड़ो: −4 + (−9)। चिह्न एक जैसे, माप जोड़ो: 13, चिह्न ऋण। उत्तर −13।
4. सुबह 6 बजे −5 °C था। दोपहर तक तापमान 11 डिग्री बढ़ा। दोपहर में कितना?
−5 + 11 = 6। दोपहर में 6 °C।
5. (−6) × (−7) और 48 ÷ (−8) निकालो।
(−6) × (−7): एक जैसे चिह्न → +, 42। 48 ÷ (−8): अलग चिह्न → −, उत्तर −6।
6. −2.5 × 4 ÷ (−0.5) निकालो।
बाएँ से दाएँ। −2.5 × 4 = −10। फिर −10 ÷ (−0.5) = 20। उत्तर 20।
7. (−2)³ − 3 × (−4) + (−10) ÷ 5 निकालो।
पहले घात: (−2)³ = −8। फिर × ÷: 3 × (−4) = −12; −10 ÷ 5 = −2। अब −8 − (−12) + (−2) = −8 + 12 − 2 = 2।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि −7, −2 से बड़ा है क्योंकि 7 > 2। रेखा पर −2 ज़्यादा दाएँ है, इसलिए −2 > −7।
- 3 − (−4) = −1 लिखना। दो ऋण चिह्न साथ आएँ तो धन बनता है: 3 + 4 = 7।
- जोड़ में गुणा वाला नियम लगाना: −3 + (−4) = −7 है, +7 नहीं। 'दो ऋण = धन' सिर्फ़ गुणा-भाग का नियम है।
- (−3)² = 9 और −3² = −9 को एक समझना। कोष्ठक न हो तो सिर्फ़ 3 का वर्ग होता है।