गुणधर्म और संक्रियाओं का क्रम
जब व्यंजक में कई संक्रियाएँ हों, तो सब एक ही क्रम में करें:
- कोष्ठक (Brackets)
- घात और वर्गमूल (Orders)
- भाग और गुणा, बाएँ से दाएँ
- जोड़ और घटाव, बाएँ से दाएँ
इसे BODMAS, BIDMAS या PEMDAS भी कहते हैं; नियम एक ही है।
उपयोगी गुणधर्म
- क्रमविनिमेय: a + b = b + a; a × b = b × a
- साहचर्य: (a + b) + c = a + (b + c)
- वितरण: a × (b + c) = a × b + a × c
- तत्समक: a + 0 = a; a × 1 = a
वर्ग संख्याएँ और मौखिक गणित
1² से 15² तक के वर्ग याद करें: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225। तब √144 = 12 तुरंत।
मौखिक गणित की तरकीबें
- तोड़ो: 7 × 48 = 7 × 40 + 7 × 8 = 280 + 56 = 336।
- पूरा करो और ठीक करो: 19 × 6 = 20 × 6 − 6 = 114।
- दुगुना और आधा: 25 × 16 = 50 × 8 = 100 × 4 = 400।
- चरणों में भाग: 420 ÷ 12 = 420 ÷ 6 ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35।
पूर्णांकों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग
पूर्णांक वह पूर्ण संख्या है जो धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती है।
- जोड़: चिप लें। +1 और −1 मिलकर शून्य-जोड़ा। (−6) + 4: चार जोड़े कटे, −2 बचा।
- घटाव: विपरीत जोड़ें। 3 − (−5) = 3 + 5 = 8।
- गुणा और भाग: पहले मान, फिर चिह्न। समान चिह्न → धन; अलग → ऋण। (−7) × 3 = −21; (−20) ÷ (−4) = 5।
भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग
- जोड़/घटाव: समान हर बनाएँ, फिर अंश जोड़ें। 2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12।
- गुणा: अंश × अंश / हर × हर। 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5।
- भाग: पहली भिन्न रखो, ÷ को × करो, दूसरी उलटो। 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4।
- मिश्र भिन्न को पहले विषम भिन्न बनाएँ: 1½ = 3/2।
उलटते क्यों हैं? भाग पूछता है "इसमें वह कितनी बार समाएगा?" 3/4 में 1/8 के कितने टुकड़े? 6, यानी 3/4 × 8।
समानुपाती स्थितियाँ
दो राशियाँ समानुपाती हैं जब उनका अनुपात हमेशा वही रहे। 4 पेन ₹60 के हैं, तो 1 पेन ₹15 (इकाई दर), और 7 पेन ₹105 के।
या समानुपात लिखें: 4/60 = 7/x, तो x = 60 × 7 ÷ 4 = 105।
खुद करके देखें
1 भाग शरबत और 4 भाग पानी से 1 लीटर पेय बनाना है। शरबत कितना? (1000 mL का 1/5 = 200 mL।) फिर 3D में नुस्ख़ा बढ़ाकर देखें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- क्रम: कोष्ठक → घात → × ÷ (बाएँ से दाएँ) → + − (बाएँ से दाएँ)
- a − b = a + (−b)
- (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −
- a/b + c/d = (ad + bc)/bd
- a/b × c/d = ac/bd; a/b ÷ c/d = a/b × d/c
- समानुपात: a/b = c/d ⇔ ad = bc
हल किए गए उदाहरण
1. 18 − 3 × 2² + 6 ÷ 3 का मान निकालिए।
घात: 2² = 4। गुणा-भाग: 3 × 4 = 12, 6 ÷ 3 = 2। फिर 18 − 12 + 2 = 8।
2. (−8) + 5 − (−6) हल कीजिए।
(−8) + 5 = −3। −6 घटाना यानी 6 जोड़ना: −3 + 6 = 3।
3. (−6) × 4 ÷ (−3) हल कीजिए।
(−6) × 4 = −24 (अलग चिह्न)। −24 ÷ (−3) = 8 (समान चिह्न)।
4. 3/4 + 5/6 जोड़िए।
समान हर 12: 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12।
5. 2 1/4 ÷ 3/8 हल कीजिए।
2 1/4 = 9/4। रखो-बदलो-उलटो: 9/4 × 8/3 = 72/12 = 6।
6. एक कार 90 km में 6 L ईंधन लेती है। 150 km में कितना?
इकाई दर: 6 ÷ 90 = 1/15 L प्रति km। 150 × 1/15 = 10 L। जाँच: 6/90 = 10/150 ✓।
आम गलतियाँ
- क्रम के बिना बाएँ से दाएँ हल करना: 3 + 4 × 2 = 11 है, 14 नहीं।
- हर जोड़ देना: 1/2 + 1/3 ≠ 2/5। पहले समान हर बनाएँ।
- सोचना कि दो ऋण हमेशा धन देते हैं। यह × और ÷ में सही है, पर (−3) + (−4) = −7।
- भाग में पहली भिन्न उलट देना। पहली रखो, केवल दूसरी उलटो।