भिन्न क्या है?
भिन्न किसी पूरे का एक हिस्सा है। पूरे को बराबर टुकड़ों में काटना ज़रूरी है।
- नीचे की संख्या हर (denominator) है। यह बताती है कि पूरा कितने बराबर टुकड़ों से बना है।
- ऊपर की संख्या अंश (numerator) है। यह बताती है कि हमने कितने टुकड़े लिए।
3/4 में पूरे के 4 टुकड़े हैं और हमने 3 लिए।
उचित भिन्न 1 से छोटी होती है (3/4)। विषम भिन्न 1 या उससे बड़ी होती है (7/4)। मिश्र भिन्न में पूरे और हिस्सा अलग लिखते हैं: 7/4 = 1 3/4।
तुल्य भिन्न और सरलतम रूप
अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करो, मात्रा नहीं बदलती: 3/4 = 6/8 = 9/12।
सरल करने के लिए दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) से भाग दो: 18/24 → 6 से भाग → 3/4।
भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग
जोड़ और घटाव
- हर बराबर करो (लघुत्तम समापवर्त्य, LCM लो)।
- अंश जोड़ो या घटाओ। हर वही रहेगा।
- सरल करो।
उदाहरण: 2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12।
गुणा
अंश × अंश, हर × हर: 2/5 × 3/7 = 6/35। मिश्र भिन्न हो तो पहले विषम भिन्न बनाओ।
भाग
पहली रखो, ÷ को × बनाओ, दूसरी उलटो (उसका व्युत्क्रम): 3/5 ÷ 2/3 = 3/5 × 3/2 = 9/10।
उलटना क्यों काम करता है? 1/4 से भाग का मतलब है कि कितने चौथाई टुकड़े आएँगे। हर पूरे में 4 चौथाई होते हैं, इसलिए यह 4 से गुणा जैसा ही है।
दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ
दशमलव
दशमलव वह भिन्न है जिसका हर 10, 100, 1000… हो: 0.75 = 75/100 = 3/4।
- जोड़-घटाव: दशमलव बिंदु एक सीध में रखो।
- गुणा: बिंदु भूलकर गुणा करो, फिर दोनों संख्याओं के कुल दशमलव स्थान जितने बिंदु लगाओ। 0.3 × 0.4 = 0.12।
- भाग: दोनों के बिंदु बराबर खिसकाओ ताकि भाजक पूर्ण संख्या बने। 1.2 ÷ 0.3 = 12 ÷ 3 = 4।
ऋणात्मक संख्याएँ
- ऋणात्मक जोड़ना घटाने जैसा है: 5 + (−8) = −3।
- ऋणात्मक घटाना जोड़ने जैसा है: 4 − (−6) = 10।
- गुणा-भाग: एक जैसे चिह्न → धनात्मक, अलग चिह्न → ऋणात्मक। (−3) × (−4) = 12; (−12) ÷ 3 = −4।
यही नियम ऋणात्मक भिन्नों पर भी: −1/2 × 3/5 = −3/10।
संक्रियाओं का क्रम, उलटी संक्रिया और कैलकुलेटर
संक्रियाओं का क्रम (BODMAS / BIDMAS)
क्रम: कोष्ठक (Brackets), घात (Indices/Orders), भाग और गुणा (बाएँ से दाएँ), फिर जोड़ और घटाव (बाएँ से दाएँ)।
उदाहरण: 3 + 4 × 2² = 3 + 4 × 4 = 3 + 16 = 19 (196 नहीं)।
उलटी संक्रिया (inverse operation)
उलटी संक्रिया पिछली क्रिया को मिटा देती है: + का उलटा −, × का उलटा ÷, वर्ग का उलटा वर्गमूल। जाँच के लिए: अगर 3/5 ÷ 2/3 = 9/10, तो 9/10 × 2/3 से वापस 3/5 आना चाहिए। आता है: 18/30 = 3/5।
कैलकुलेटर सही तरीके से
- पहले मोटा अनुमान लगाओ, ताकि गलत उत्तर पकड़ सको।
- भिन्न की रेखा के लिए कोष्ठक लगाओ: (3 + 5) ÷ (2 × 4), न कि 3 + 5 ÷ 2 × 4।
- भिन्न बटन (a b/c) और S⇔D बटन से भिन्न-दशमलव बदलो।
- ऋणात्मक के लिए (−) बटन दबाओ, और सिर्फ़ आख़िर में पूर्णांकन करो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a/b + c/b = (a + c)/b (हर बराबर)
- a/b + c/d = (ad + bc)/bd, फिर सरल करो
- a/b × c/d = ac/bd
- a/b ÷ c/d = a/b × d/c (रखो, बदलो, उलटो)
- तुल्य भिन्न: a/b = (a×k)/(b×k)
- गुणा/भाग: एक जैसे चिह्न → धनात्मक; अलग चिह्न → ऋणात्मक
- BODMAS: कोष्ठक, घात, भाग/गुणा, जोड़/घटाव
हल किए गए उदाहरण
1. 18/24 को सरल करो।
18 और 24 का HCF 6 है। 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4। तो 18/24 = 3/4।
2. 2/3 + 1/4 निकालो।
3 और 4 का LCM 12 है। 2/3 = 8/12, 1/4 = 3/12। 8/12 + 3/12 = 11/12।
3. 2 1/2 × 1 1/5 निकालो।
विषम भिन्न बनाओ: 5/2 × 6/5 = 30/10 = 3।
4. 3/4 ÷ 3/8 निकालो और उलटी संक्रिया से जाँचो।
रखो, बदलो, उलटो: 3/4 × 8/3 = 24/12 = 2। जाँच: 2 × 3/8 = 6/8 = 3/4। सही।
5. (−2/3) − (1/6) और फिर −0.4 × −2.5 निकालो।
(−2/3) − 1/6 = −4/6 − 1/6 = −5/6। दूसरा: 0.4 × 2.5 = 1, और दो ऋणात्मक का गुणा धनात्मक, तो उत्तर 1।
6. (1/2 + 1/3) × 6 − 2² निकालो।
पहले कोष्ठक: 1/2 + 1/3 = 5/6। घात: 2² = 4। गुणा: 5/6 × 6 = 5। घटाव: 5 − 4 = 1।
आम गलतियाँ
- हर भी जोड़ देना: 1/2 + 1/3 का उत्तर 2/5 नहीं है। पहले हर बराबर करो (3/6 + 2/6 = 5/6)।
- भाग में ग़लत भिन्न उलटना। पहली रखो, दूसरी उलटो।
- BODMAS भूलकर बाएँ से दाएँ हल करना: 2 + 3 × 4 = 14 है, 20 नहीं।
- सोचना कि दो ऋणात्मक हमेशा धनात्मक बनाते हैं। यह नियम सिर्फ़ गुणा-भाग का है; −3 − 4 = −7।