पूर्ण घात से किसी भी परिमेय घात तक
जब n धनात्मक पूर्ण संख्या हो, तब (1 + x)^n के गुणांक nCr से आते हैं और n + 1 पद होते हैं।
यही पैटर्न किसी भी परिमेय n (ऋणात्मक या भिन्न) के लिए चलता है:
(1 + x)^n = 1 + nx + n(n−1)/2! x² + n(n−1)(n−2)/3! x³ + …
यह रुकती क्यों नहीं? कोई गुणांक तभी शून्य होता है जब कोई कोष्ठक (n − k) शून्य हो। यह तभी होता है जब n = 0, 1, 2, … जैसी पूर्ण संख्या हो। n = −1 या n = ½ पर कोई कोष्ठक शून्य नहीं होता, इसलिए पद अनंत हैं।
गुणांकों के उदाहरण
n = −1: 1, −1, 1, −1, … यानी (1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + …
n = ½: 1, ½, −⅛, 1/16, …
प्रसार कब मान्य है?
अनंत योग का मान तभी निकलता है जब पद काफ़ी तेज़ी से छोटे हों। द्विपद श्रेणी में ऐसा ठीक तब होता है जब |x| < 1, यानी −1 < x < 1.
जाँचो: 1 − x + x² − … में x = 2 रखो। मिलता है 1 − 2 + 4 − 8 + … जो बेतहाशा उछलता है, जबकि 1/(1 + 2) = ⅓. वहाँ श्रेणी गलत है।
उत्तर के साथ वैधता ज़रूर लिखो, जैसे (1 + 3x)^−½ मान्य है जब |3x| < 1, यानी |x| < ⅓.
(a + bx)^n का प्रसार
सूत्र को आगे 1 चाहिए। इसलिए a बाहर निकालो:
(a + bx)^n = a^n (1 + bx/a)^n
अब x की जगह bx/a रखकर प्रसार करो और हर पद को a^n से गुणा करो। वैधता: |bx/a| < 1, यानी |x| < |a/b|.
उदाहरण: (4 − x)^½ = 2(1 − x/4)^½, मान्य जब |x| < 4.
आंशिक भिन्नों (partial fractions) के साथ
(5x + 1)/((1 + x)(1 − 2x)) जैसे व्यंजक को पहले आंशिक भिन्नों में तोड़ो, हर भाग का प्रसार करो और जोड़ो। पूरा उत्तर वहीं मान्य है जहाँ दोनों भाग मान्य हों, इसलिए छोटी सीमा लो।
सन्निकटन और परीक्षा की तकनीक
x छोटा हो तो x², x³ … बहुत छोटे होते हैं, इसलिए कुछ पद ही बढ़िया उत्तर देते हैं। x ऐसा चुनो कि कोष्ठक तुम्हारी संख्या से मिले, जैसे √(4.04) = (4 + 0.04)^½ = 2(1 + 0.01)^½.
परीक्षा में अक्सर पूछा जाता है: x² या x³ तक प्रसार; वैधता की सीमा; किसी संख्या का अनुमान; प्रतिशत त्रुटि; या दिए गुणांकों से अज्ञात अचर।
करके देखो
3D में n = −1 और x = 0.9 रखो, फिर x = 1.1. पहली बार हरा योग धीरे-धीरे 1/1.9 ≈ 0.526 की ओर जाता है। दूसरी बार बार बढ़ते हैं और योग ऊपर-नीचे कूदता है। फिर कागज़ पर 1/0.98 = (1 − 0.02)⁻¹ ≈ 1 + 0.02 + 0.0004 निकालो और कैलकुलेटर से मिलाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- (1 + x)^n = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + …, |x| < 1 के लिए (कोई भी परिमेय n)
- व्यापक पद: n(n−1)…(n−r+1)/r! · x^r
- (a + bx)^n = a^n(1 + bx/a)^n, |bx/a| < 1 के लिए
- (1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + …
- (1 − x)⁻¹ = 1 + x + x² + x³ + …
- छोटे x पर: (1 + x)^n ≈ 1 + nx
हल किए गए उदाहरण
1. (1 + x)⁻² का x³ तक प्रसार करो।
n = −2. पद: 1 + (−2)x + (−2)(−3)/2 x² + (−2)(−3)(−4)/6 x³ = 1 − 2x + 3x² − 4x³. मान्य: |x| < 1.
2. (1 − 3x)^½ का x² तक प्रसार करो और वैधता बताओ।
y = −3x, n = ½: 1 + ½y − ⅛y². यानी 1 + ½(−3x) − ⅛(9x²) = 1 − 1.5x − 1.125x². मान्य जब |3x| < 1, यानी |x| < ⅓.
3. (2 + x)⁻¹ का x² तक प्रसार करो।
(2 + x)⁻¹ = 2⁻¹(1 + x/2)⁻¹ = ½(1 − x/2 + x²/4) = ½ − x/4 + x²/8. मान्य: |x| < 2.
4. (1 + x)^½ से √1.02 का 5 दशमलव तक अनुमान लगाओ।
x = 0.02: 1 + ½(0.02) − ⅛(0.0004) = 1 + 0.01 − 0.00005 = 1.00995. कैलकुलेटर: 1.0099505, त्रुटि बहुत छोटी।
5. (8 + 3x)^⅓ का x² तक प्रसार करो।
8^⅓(1 + 3x/8)^⅓ = 2[1 + ⅓(3x/8) + (⅓)(−⅔)/2 (3x/8)²] = 2[1 + x/8 − x²/64] = 2 + x/4 − x²/32. मान्य: |x| < 8/3.
6. (3 + 2x)/((1 + x)(1 + 2x)) को आंशिक भिन्नों में तोड़कर x² तक प्रसार करो।
= A/(1 + x) + B/(1 + 2x). x = −1: 1 = −A, A = −1. x = −½: 2 = B/2, B = 4. प्रसार: −(1 − x + x²) + 4(1 − 2x + 4x²) = 3 − 7x + 15x². मान्य: |x| < ½ (छोटी सीमा)।
आम गलतियाँ
- a^n बाहर निकालना भूलना: (4 + x)^½ = 2(1 + x/4)^½ है, 4(1 + x/4)^½ नहीं।
- bx पर कोष्ठक न लगाना: (1 − 3x)^½ में x² वाला पद (−3x)² = 9x² लेता है, −3x² नहीं।
- वैधता न लिखना, या |bx/a| < 1 की जगह हमेशा |x| < 1 लिख देना।
- यह सोचना कि ऋणात्मक या भिन्न n पर श्रेणी रुकती है। सिर्फ़ धनात्मक पूर्ण n पर रुकती है।