भिन्नात्मक समीकरण क्या है?
भिन्नात्मक समीकरण (जिसे परिमेय समीकरण भी कहते हैं) में अज्ञात कम से कम एक भिन्न के हर (नीचे) में होता है। उदाहरण: 3/x = 1/(x − 4) और x/(x + 1) + 2/(x − 1) = 4/(x² − 1)।
यह भिन्नात्मक नहीं: x/3 + x/5 = 8, क्योंकि हर केवल संख्याएँ हैं। यह सामान्य रैखिक समीकरण है।
मना मान (प्रांत)
शून्य से भाग का कोई अर्थ नहीं। इसलिए x का जो मान किसी हर को शून्य करे, वह मना है। इन्हें सबसे पहले निकालिए। x/(x + 1) + 2/(x − 1) = 4/(x² − 1) में मना मान x = −1 और x = 1 हैं। बाकी अनुमत मान समीकरण का प्रांत हैं।
हल कैसे करें: फाटक, सफ़ाई, हल, जाँच
- फाटक: हर हर का गुणनखंड कीजिए और मना मान लिखिए।
- सफ़ाई: दोनों ओर के हर पद को LCM से गुणा कीजिए। सारे हर कट जाते हैं।
- हल: बचा समीकरण हल कीजिए। यह अक्सर रैखिक या द्विघात होता है।
- जाँच: जो मूल मना मान हो, उसे हटाइए। उत्तर लिखिए।
हल किया गया उदाहरण: x/(x + 1) + 2/(x − 1) = 4/(x² − 1)। x² − 1 = (x − 1)(x + 1), तो LCM (x − 1)(x + 1)। गुणा: x(x − 1) + 2(x + 1) = 4 → x² + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0। मूल −2 और 1। पर 1 मना है। उत्तर: x = −2।
दोनों ओर एक-एक भिन्न हो तो
a/b = c/d हो तो तिरछा गुणा कर सकते हैं: ad = bc। मना मान फिर भी जाँचिए।
भिन्न शून्य के बराबर
A/B = 0 तभी जब A = 0 और B ≠ 0। उदाहरण: (x² − 9)/(x − 3) = 0 से x = ±3, पर x = 3 मना है, तो x = −3।
तुल्य समीकरण और बाहरी मूल
दो समीकरण तुल्य हैं अगर उनके हल बिल्कुल एक जैसे हों। दोनों ओर एक ही संख्या जोड़ने या किसी शून्येतर संख्या से गुणा करने पर समीकरण तुल्य रहता है।
पर x वाले व्यंजक (जैसे LCM) से गुणा करना अलग है। कुछ x के लिए वह व्यंजक 0 होता है, और 0 से गुणा करने पर गलत बात भी सही दिख सकती है। इसलिए नए समीकरण में एक अतिरिक्त मूल आ सकता है जो मूल समीकरण का नहीं। इसे बाहरी मूल कहते हैं। इसीलिए जाँच ज़रूरी है।
किसी समीकरण का कोई हल न हो, यह भी हो सकता है: 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 2/(x² − 1) से 2x = 2, x = 1, जो मना है।
द्विघात में बदलने योग्य समीकरण
कुछ समीकरण चतुर प्रतिस्थापन से द्विघात बन जाते हैं।
- द्विवर्गी: x⁴ − 5x² + 4 = 0। t = x² रखिए: t² − 5t + 4 = 0, तो t = 1 या 4। फिर x² = 1 या x² = 4, यानी x = ±1, ±2। (t ऋणात्मक आए तो x² = t का कोई वास्तविक मूल नहीं।)
- दोहराता टुकड़ा: (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0। t = x² + x रखिए: t = 2 या 6, फिर x² + x = 2 और x² + x = 6 हल कीजिए।
- भिन्न और उसका व्युत्क्रम: x/(x + 1) + (x + 1)/x = 5/2। t = x/(x + 1) रखिए: t + 1/t = 5/2 → 2t² − 5t + 2 = 0 → t = 2 या 1/2। फिर हर सरल समीकरण से x निकालिए और मना मान 0 व −1 जाँचिए।
दर वाले शाब्दिक प्रश्न
समय = दूरी ÷ चाल और काम की दर = 1 ÷ समय का उपयोग कीजिए।
नाव और धारा
शांत जल में नाव की चाल v km/h, धारा 2 km/h। धारा के विपरीत चाल v − 2, धारा के साथ v + 2। 12 km ऊपर और 12 km वापस में 2.5 घंटे लगें: 12/(v − 2) + 12/(v + 2) = 2.5। हर हटाइए: 12(v + 2) + 12(v − 2) = 2.5(v² − 4) → 5v² − 48v − 20 = 0 → (5v + 2)(v − 10) = 0। v = 10 km/h (v = −0.4 चाल के लिए बेमतलब है)।
मिलकर काम
A को a घंटे और B को b घंटे लगें, तो साथ में वे हर घंटे 1/a + 1/b काम करते हैं। साथ का समय t: 1/a + 1/b = 1/t।
उत्तर कहानी में ठीक बैठे, यह भी जाँचिए: चाल और समय धनात्मक हों, लोगों की संख्या पूर्ण हो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- मना मान: x के वे सभी मान जिनसे कोई हर 0 हो
- भिन्न हटाना: हर पद को LCM से गुणा कीजिए
- a/b = c/d ⇒ ad = bc (b, d ≠ 0)
- A/B = 0 ⇔ A = 0 और B ≠ 0
- बाहरी मूल: साफ़ किए समीकरण का वह मूल जो मना मान हो
- द्विवर्गी ax⁴ + bx² + c = 0: t = x² रखिए
- समय = दूरी ÷ चाल; धारा के विपरीत v − c, साथ v + c
- मिलकर काम: 1/a + 1/b = 1/t
हल किए गए उदाहरण
1. 6/x = 2 हल कीजिए।
मना: x ≠ 0। x से गुणा: 6 = 2x, तो x = 3। 3 अनुमत है। उत्तर x = 3।
2. 3/x = 1/(x − 4) हल कीजिए।
मना: 0 और 4। तिरछा गुणा: 3(x − 4) = x → 3x − 12 = x → 2x = 12 → x = 6। अनुमत। उत्तर x = 6।
3. (x + 3)/(x − 1) = 2 हल कीजिए।
मना: 1। (x − 1) से गुणा: x + 3 = 2x − 2 → x = 5। जाँच: 8/4 = 2 ✓। उत्तर x = 5।
4. x²/(x − 2) = 4/(x − 2) हल कीजिए।
मना: 2। (x − 2) से गुणा: x² = 4 → x = 2 या −2। x = 2 मना है (बाहरी)। उत्तर x = −2।
5. x/(x + 1) + 2/(x − 1) = 4/(x² − 1) हल कीजिए।
मना: ±1। LCM (x − 1)(x + 1)। x(x − 1) + 2(x + 1) = 4 → x² + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0। x = 1 मना है। उत्तर x = −2।
6. 1/x + 1/(x + 2) = 4/3 हल कीजिए।
मना: 0, −2। LCM 3x(x + 2)। 3(x + 2) + 3x = 4x(x + 2) → 6x + 6 = 4x² + 8x → 2x² + x − 3 = 0 → (2x + 3)(x − 1) = 0। x = 1 या x = −3/2, दोनों अनुमत।
7. x⁴ − 13x² + 36 = 0 हल कीजिए।
t = x² रखिए: t² − 13t + 36 = 0 → (t − 4)(t − 9) = 0। x² = 4 → x = ±2; x² = 9 → x = ±3। चार मूल: ±2, ±3।
8. एक पाइप टंकी 3 घंटे में, दूसरा 6 घंटे में भरता है। दोनों साथ कितना समय लेंगे?
1/3 + 1/6 = 1/t → 3/6 = 1/2 → t = 2 घंटे।
आम गलतियाँ
- LCM से केवल कुछ पदों को गुणा करना। दोनों ओर का हर पद, पूर्ण संख्याएँ भी, गुणा होना चाहिए।
- जाँच छोड़ देना और वह बाहरी मूल रख लेना जो हर को शून्य करता है।
- दोनों ओर x से भाग देकर x वाला गुणनखंड काट देना, जिससे असली मूल खो जाता है।
- साझा गुणनखंड होने पर भी सारे हरों का गुणनफल ले लेना; पहले गुणनखंड करके सबसे छोटा LCM लीजिए।