अपरिमेय समीकरण क्या है?
अपरिमेय समीकरण (irrational equation) वह समीकरण है जिसमें अज्ञात x मूल चिह्न के नीचे होता है। उदाहरण: √(x+7) = 3 या √(2x−1) = x−2।
पहले दो छोटे नियम। मूल चिह्न का मतलब अऋणात्मक मूल है: √4 = 2 (−2 नहीं)। और मूल के अंदर की राशि 0 या उससे बड़ी होनी चाहिए। यही प्रांत (domain) है: √(x+2) के लिए x + 2 ≥ 0, यानी x ≥ −2।
यानी मूल कभी ऋणात्मक नहीं होता। इस पाठ की लगभग हर गलती इसी बात से समझ आती है।
हल करने का तरीका: अकेला करो, वर्ग करो, हल करो, जाँचो
- मूल को एक ओर अकेला करें।
- दोनों ओर वर्ग करें। मूल चिह्न हट जाता है।
- नया समीकरण हल करें (अक्सर द्विघात)।
- हर उत्तर को मूल समीकरण में रखकर जाँचें। सिर्फ़ सही उत्तर रखें।
उदाहरण: √(x+7) = 3। वर्ग: x + 7 = 9, इसलिए x = 2। जाँच: √9 = 3। सही। उत्तर: x = 2।
अगर दोनों ओर मूल हो, जैसे √(3x+1) = √(x+5), तो सीधे वर्ग कर सकते हैं: 3x + 1 = x + 5, इसलिए x = 2।
फ़ालतू (बाह्य) हल: जाँच क्यों ज़रूरी है
वर्ग करने से "A = B" बदलकर "A² = B²" हो जाता है। लेकिन A² = B² तब भी सही है जब A = −B हो। यानी वर्ग करने से ऐसे उत्तर भी घुस आते हैं जहाँ दोनों पक्ष एक-दूसरे के उलटे होते हैं। ये फ़ालतू हल (extraneous roots) हैं।
उदाहरण: √(x+2) = x। वर्ग: x + 2 = x², यानी x² − x − 2 = 0, जिससे x = 2 या x = −1। x = −1 जाँचें: बायाँ पक्ष √1 = 1, दायाँ पक्ष −1। गलत! सिर्फ़ x = 2 सही है।
छोटा रास्ता: मूल अकेला करने के बाद दूसरा पक्ष 0 या अधिक होना चाहिए। अगर आपका उत्तर उसे ऋणात्मक कर दे, तो उसे हटा दें।
दो मूल वाला उदाहरण: √(x+3) + √(x−2) = 5। एक मूल अकेला करें, वर्ग करें, फिर दूसरा मूल अकेला करें, फिर वर्ग करें। x = 6 मिलता है; जाँच: 3 + 2 = 5। सही।
अपरिमेय असमिकाएँ
असमिका में सीधे वर्ग नहीं कर सकते, क्योंकि वर्ग तभी ठीक चलता है जब दोनों पक्ष अऋणात्मक हों। ये दो नियम काम आते हैं:
- √f < g तब सही है जब f ≥ 0, g > 0 और f < g² (तीनों एक साथ)।
- √f > g दो स्थितियों में सही है: (1) g < 0 और f ≥ 0, या (2) g ≥ 0 और f > g²।
उदाहरण: √(x−1) < 3। चाहिए x − 1 ≥ 0 और x − 1 < 9। इसलिए 1 ≤ x < 10।
उदाहरण: √(x+2) > x। स्थिति 1: x < 0 और x ≥ −2, यानी −2 ≤ x < 0। स्थिति 2: x ≥ 0 और x + 2 > x², यानी 0 ≤ x < 2। दोनों मिलाकर: −2 ≤ x < 2। 3D ग्राफ़ में यह वही हिस्सा है जहाँ हरा वक्र नारंगी रेखा के ऊपर है।
प्राचल (parameter) वाली समस्याएँ
प्राचल वह अक्षर (जैसे a) है जो एक निश्चित पर अज्ञात संख्या को दर्शाता है। सवाल ऐसा होता है: "a के किन मानों के लिए √(x+a) = x का हल है?"
ग्राफ़ सोचिए। रेखा y = x स्थिर है। a बदलने पर वक्र √(x+a) बाएँ या दाएँ खिसकता है। वर्ग करने पर: x² − x − a = 0 और हमें x ≥ 0 चाहिए।
- a < −¼: वक्र बहुत दाएँ है, कोई हल नहीं।
- −¼ ≤ a < 0: वक्र रेखा को दो बार काटता है, दो हल (a = −¼ पर बस छूता है)।
- a ≥ 0: ठीक एक हल।
हर स्थिति देखने के लिए 3D में a स्लाइडर चलाइए।
करके देखिए: पहले अनुमान, फिर जाँच
3D में a = 2, b = 0 रखिए और बिंदु देखिए। अब b = −2 कीजिए। देखने से पहले अनुमान लगाइए कि कितने सही हल होंगे। फिर नीचे का पाठ पढ़कर जाँचिए। घर पर: कोई संख्या n लीजिए, कैलकुलेटर से उसका वर्गमूल निकालिए, उसमें 1 जोड़िए और परिणाम को y कहिए। अब उलटे चलकर (1 घटाओ, फिर वर्ग करो) y से n वापस निकालिए। √n + 1 = y हल करना ठीक यही है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- √A = B ⟹ A = B², और B ≥ 0 होना चाहिए
- √f = √g ⟹ f = g, जहाँ f ≥ 0
- √f < g ⟺ f ≥ 0, g > 0, f < g²
- √f > g ⟺ (g < 0 और f ≥ 0) या (g ≥ 0 और f > g²)
- प्रांत: वर्गमूल के नीचे की राशि ≥ 0 होनी चाहिए
हल किए गए उदाहरण
1. हल कीजिए: √(x+7) = 3।
दोनों ओर वर्ग: x + 7 = 9, इसलिए x = 2। जाँच: √(2+7) = √9 = 3। सही। उत्तर: x = 2।
2. हल कीजिए: √(3x+1) = √(x+5)।
वर्ग: 3x + 1 = x + 5, इसलिए 2x = 4 और x = 2। जाँच: √7 = √7। सही। उत्तर: x = 2।
3. हल कीजिए: √(x+2) = x।
वर्ग: x + 2 = x², इसलिए x² − x − 2 = 0, यानी (x−2)(x+1) = 0। x = 2: √4 = 2, सही। x = −1: √1 = 1 पर दायाँ पक्ष −1, गलत। उत्तर: केवल x = 2।
4. हल कीजिए: √(2x−1) = x−2।
वर्ग: 2x − 1 = x² − 4x + 4, इसलिए x² − 6x + 5 = 0, यानी x = 1 या 5। x = 1: √1 = 1, दायाँ पक्ष −1, गलत। x = 5: √9 = 3, दायाँ पक्ष 3, सही। उत्तर: x = 5।
5. हल कीजिए: √(x+5) + 1 = x।
मूल अकेला करें: √(x+5) = x − 1। वर्ग: x + 5 = x² − 2x + 1, इसलिए x² − 3x − 4 = 0, यानी x = 4 या −1। x = 4: √9 + 1 = 4, सही। x = −1: √4 + 1 = 3, −1 नहीं, गलत। उत्तर: x = 4।
6. हल कीजिए: √(x+3) + √(x−2) = 5।
अकेला करें: √(x+3) = 5 − √(x−2)। वर्ग: x + 3 = 25 − 10√(x−2) + x − 2, इसलिए 10√(x−2) = 20 और √(x−2) = 2। फिर वर्ग: x − 2 = 4, इसलिए x = 6। जाँच: √9 + √4 = 3 + 2 = 5। सही। उत्तर: x = 6।
7. असमिका हल कीजिए: √(x−1) < 3।
चाहिए x − 1 ≥ 0 (यानी x ≥ 1) और x − 1 < 9 (यानी x < 10)। उत्तर: 1 ≤ x < 10।
8. असमिका हल कीजिए: √(x+2) > x।
स्थिति 1 (x < 0): x + 2 ≥ 0, इसलिए −2 ≤ x < 0। स्थिति 2 (x ≥ 0): x + 2 > x², यानी x² − x − 2 < 0, अर्थात −1 < x < 2; x ≥ 0 के साथ 0 ≤ x < 2। दोनों मिलाकर: −2 ≤ x < 2।
आम गलतियाँ
- हर पद का अलग-अलग वर्ग करना: (√x + 1)² का मान x + 1 नहीं है। यह x + 2√x + 1 है। पहले मूल को अकेला करें।
- जाँच करना भूल जाना। वर्ग करने से फ़ालतू हल आ सकते हैं, इसलिए उत्तर को मूल समीकरण में ज़रूर रखें।
- √9 = ±3 मान लेना। मूल चिह्न केवल अऋणात्मक मूल देता है: √9 = 3।
- प्रांत भूल जाना। √(x−3) के लिए x ≥ 3 चाहिए, इसलिए 3 से छोटा कोई भी उत्तर बाहर है।