चरघातांकी, लघुगणकीय और अपरिमेय असमिकाएँ

चरघातांकी असमिकाएँ: आधार देखिए

चरघातांकी असमिका में अज्ञात घात (ऊपर छोटी संख्या) में होता है, जैसे 2ˣ > 8।

चरण 1: दोनों ओर एक ही आधार बनाइए: 2ˣ > 2³।

चरण 2: घातों की तुलना कीजिए। आधार तय करता है:

• आधार 1 से बड़ा (जैसे 2 या 10): वक्र चढ़ता है। चिह्न वही रहता है। 2ˣ > 2³ से x > 3।
• आधार 0 और 1 के बीच (जैसे ½): वक्र गिरता है। चिह्न पलटता है। (½)ˣ > (½)³ से x < 3।

घात कभी शून्य या ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए 2ˣ > −5 हर x के लिए सत्य है और 2ˣ < −5 कभी सत्य नहीं।

छिपा हुआ द्विघात: 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0 में t = 2ˣ (t > 0) रखिए। तब t² − 3t + 2 < 0, यानी 1 < t < 2, यानी 0 < x < 1।

लघुगणकीय असमिकाएँ: पहले प्रांत

लघुगणक बताता है "कौन-सी घात यह संख्या देगी?"। log₂ 8 = 3 क्योंकि 2³ = 8। यह तभी बनता है जब अंदर की संख्या 0 से बड़ी हो।

log_a f(x) < log_a g(x) हल करने के चरण:

1. प्रांत लिखिए: f(x) > 0 और g(x) > 0।
2. आधार 1 से बड़ा: चिह्न वही, f < g। आधार 0 और 1 के बीच: चिह्न पलटिए, f > g।
3. उत्तर को प्रांत से मिलाइए (सिर्फ़ वह भाग लीजिए जो दोनों में हो)।

उदाहरण: log₂(x − 1) < 3। प्रांत: x > 1। तुलना: x − 1 < 8, यानी x < 9। उत्तर: 1 < x < 9।

ज़रूरत हो तो साधारण संख्या को log बनाइए: 3 = log₂ 8।

अपरिमेय (मूल वाली) असमिकाएँ

अपरिमेय असमिका में अज्ञात मूल के नीचे होता है, जैसे √(x + 2) < x। वर्गमूल कभी ऋणात्मक नहीं होता, और उसके नीचे की राशि भी ऋणात्मक नहीं हो सकती।

स्थिति √f < g (मूल छोटा है): तीनों शर्तें साथ चाहिए: f ≥ 0, g > 0 और f < g²।

स्थिति √f > g (मूल बड़ा है): दो रास्ते, फिर "या" से जोड़िए:

• g < 0 और f ≥ 0 (शून्य या उससे बड़ा मूल हमेशा ऋणात्मक संख्या से बड़ा होता है), या
• g ≥ 0 और f > g²।

दोनों पक्षों का वर्ग तभी कीजिए जब पक्का हो कि दोनों ऋणात्मक नहीं हैं। तभी वर्ग करना सुरक्षित है।

उदाहरण: √(x + 2) < x। प्रांत x ≥ −2। x > 0 चाहिए। वर्ग: x + 2 < x², यानी x² − x − 2 > 0, यानी x > 2 या x < −1। x > 0 के साथ उत्तर x > 2।

हर उत्तर की जाँच कीजिए

अपने उत्तर के अंदर की एक संख्या और बाहर की एक संख्या लीजिए। दोनों को मूल असमिका में रखिए। अंदर वाली "सत्य" और बाहर वाली "असत्य" (या "मान्य नहीं") आनी चाहिए। 3D बोर्ड पर हरी पट्टी सत्य भाग है और लाल पट्टी मना किया हुआ भाग।

मिले-जुले सवालों में चिह्न सारणी बनाइए: जहाँ हर भाग बदलता है वे बिंदु चिह्नित कीजिए, हर खाली जगह में एक संख्या जाँचिए और जो खाली जगहें सत्य हों उन्हें रखिए।

करके देखिए: पहले अनुमान, फिर जाँच

3D बोर्ड पर 2^x > 4 चुनिए। स्लाइडर चलाने से पहले अनुमान लगाइए: क्या x = 1 हरी पट्टी में है? जाँच का x = 1 पर ले जाइए और "सत्य" या "असत्य" पढ़िए। अब (1/2)^x > 4 चुनिए और x = 1 के लिए फिर अनुमान लगाइए। घर पर: काग़ज़ को बार-बार आधा मोड़िए। 5 मोड़ के बाद 2⁵ = 32 परतें होती हैं। 1000 से ज़्यादा परतों के लिए कितने मोड़ चाहिए? (2ˣ > 1000 से 10 मोड़।)

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) or (g ≥ 0, f > g²)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• आधार 0 और 1 के बीच होने पर चिह्न पलटना भूल जाना। सबसे पहले आधार देखिए।
• लघुगणक का प्रांत छोड़ देना। log(x − 1) के लिए x > 1 चाहिए, चाहे बीजगणित चौड़ा उत्तर दे।
• जब g ऋणात्मक हो तब √f > g के दोनों पक्षों का वर्ग करना। ऋणात्मक g तो हर मूल से छोटा होता ही है।
• 2ˣ = t रखकर t > 0 भूल जाना। 2 की घात कभी शून्य या ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए t ≤ 0 हटाइए।