घात फलन क्या है?
घात फलन y = a·xⁿ है। आधार x बदलता है; घातांक n स्थिर रहता है। (चरघातांकी फलन y = 2ˣ में घातांक बदलता है।)
- a ग्राफ़ को खींचता (|a| > 1), दबाता (|a| < 1) या उल्टा (a < 0) करता है।
- n मूल आकार तय करता है।
उदाहरण: y = x², y = 3x³, y = x⁻¹, y = x^(1/2), y = 0.5x⁴.
पूर्ण घातें: सम और विषम
सम n (2, 4, 6 …)
- U आकार, a > 0 हो तो न्यूनतम (0, 0) पर।
- सम फलन: f(−x) = f(x), y-अक्ष के प्रति सममित।
- प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ; परिसर y ≥ 0 (a > 0).
- x < 0 पर घटता, x > 0 पर बढ़ता।
विषम n (1, 3, 5 …)
- S आकार (n = 1 पर सीधी रेखा)।
- विषम फलन: f(−x) = −f(x), मूलबिंदु के प्रति सममित।
- प्रांत और परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ; हमेशा बढ़ता (a > 0).
n जितना बड़ा: −1 और 1 के बीच उतना चपटा, 1 के बाद उतना तीखा। सभी (1, 1) से गुज़रते हैं।
ऋणात्मक घातें: अतिपरवलय और अनंतस्पर्शी
x⁻ⁿ = 1/xⁿ. 1/0 परिभाषित नहीं, इसलिए x = 0 प्रांत में नहीं।
- y = 1/x (n = −1): पहले और तीसरे चतुर्थांश में दो शाखाएँ। विषम फलन।
- y = 1/x² (n = −2): दोनों शाखाएँ x-अक्ष के ऊपर। सम फलन।
- अनंतस्पर्शी: ग्राफ़ x = 0 और y = 0 के पास जाता है, छूता कभी नहीं।
- x बढ़े तो y घटे: यह व्युत्क्रम विचरण है।
भिन्न घातें: मूल और करणी फलन
भिन्न घातांक का अर्थ मूल है: x^(1/n) = ⁿ√x, और x^(m/n) = (ⁿ√x)ᵐ.
- y = √x: प्रांत x ≥ 0, परिसर y ≥ 0. (0, 0) से धीरे-धीरे उठता है।
- y = ∛x: हर x के लिए परिभाषित, क्योंकि ∛(−8) = −2. विषम फलन।
- सम मूल को x ≥ 0 चाहिए; विषम मूल हर x पर चलता है।
प्रतिलोम संबंध: x ≥ 0 पर y = √x, y = x² का प्रतिलोम है। प्रतिलोम ग्राफ़ रेखा y = x में दर्पण-प्रतिबिंब होते हैं।
हल करना: x³ = 64 → x = 4. √x = 5 → x = 25.
गुणधर्मों का सार और रूपांतरण
| n | प्रांत | परिसर (a > 0) | सममिति |
|---|---|---|---|
| सम, > 0 | सभी x | y ≥ 0 | y-अक्ष |
| विषम, > 0 | सभी x | सभी y | मूलबिंदु |
| −1 | x ≠ 0 | y ≠ 0 | मूलबिंदु |
| −2 | x ≠ 0 | y > 0 | y-अक्ष |
| 1/2 | x ≥ 0 | y ≥ 0 | कोई नहीं |
| 1/3 | सभी x | सभी y | मूलबिंदु |
y = a(x − h)ⁿ + k ग्राफ़ को h दाएँ और k ऊपर खिसकाता है। y = (x − 2)² + 1 का निम्नतम बिंदु (2, 1) है।
करके देखो: कागज़ के वर्ग
1, 2, 3 और 4 cm भुजा के कागज़ी वर्ग काटो। हर वर्ग में 1 cm² के खाने गिनो: 1, 4, 9, 16. भुजा और क्षेत्रफल का ग्राफ़ बनाओ: यही y = x² है। अब 1–4 भुजा के घनों में 1 cm के छोटे घन सोचो (1, 8, 27, 64) और 3D में n = 3 रखकर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Power function: y = a·xⁿ
- Even function: f(−x) = f(x); odd function: f(−x) = −f(x)
- x⁻ⁿ = 1 / xⁿ (x ≠ 0)
- x^(1/n) = ⁿ√x; x^(m/n) = (ⁿ√x)ᵐ
- Inverse of y = xⁿ (x ≥ 0 if n even) is y = x^(1/n)
- Shift: y = a(x − h)ⁿ + k
हल किए गए उदाहरण
1. y = x⁴ सम, विषम या कोई नहीं? x = −2 और x = 2 पर y निकालो।
(−2)⁴ = 16 और 2⁴ = 16. f(−x) = f(x), इसलिए सम फलन।
2. 27^(2/3) का मान निकालो।
27^(1/3) = 3, फिर 3² = 9.
3. y = 1/x² का प्रांत और परिसर लिखो।
x शून्य नहीं हो सकता: प्रांत x ≠ 0. 1/x² हमेशा धनात्मक: परिसर y > 0.
4. 2x³ = 250 हल करो।
x³ = 125, अतः x = ∛125 = 5.
5. वर्ग का क्षेत्रफल A = s². भुजा 3 गुनी करने पर क्षेत्रफल?
A = (3s)² = 9s². क्षेत्रफल 9 गुना।
6. f(x) = x³ − 1 का प्रतिलोम निकालो और x = 2 से जाँचो।
y = x³ − 1 → x = ∛(y + 1). f⁻¹(x) = ∛(x + 1). जाँच: f(2) = 7, f⁻¹(7) = ∛8 = 2. ✓
7. y = x² और y = x³ कहाँ मिलते हैं?
x² = x³ → x²(x − 1) = 0 → x = 0 या 1. बिंदु (0, 0) और (1, 1).
आम गलतियाँ
- x⁻² को ऋणात्मक समझना। इसका अर्थ 1/x² है, जो धनात्मक है।
- x^(1/2) = x/2 लिखना। यह √x है।
- भूलना कि √x के लिए x ≥ 0 चाहिए, जबकि ∛x ऋणात्मक x पर भी चलता है।
- हर x के लिए x³ > x² मानना। 0 < x < 1 पर x³ छोटा है।