बहुपद फलन क्या है?
बहुपद फलन f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ है, जहाँ घातें पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, …) हैं और aₙ ≠ 0.
- घात n: सबसे बड़ी घात।
- अग्र गुणांक aₙ: सबसे बड़ी घात के आगे की संख्या।
- अचर पद a₀ = f(0): y-अंतःखंड।
नाम: घात 0 अचर, 1 रैखिक, 2 द्विघात, 3 त्रिघात (घन), 4 चतुर्घात। बहुपद नहीं: 1/x, √x, 2ˣ.
परिमित अंतर: बराबर दूरी के x पर, घात n के बहुपद के n-वें अंतर स्थिर होते हैं (aₙ × n!). इससे तालिका से घात पता चलती है।
अंत व्यवहार
बहुत बड़े |x| पर अग्र पद aₙxⁿ सबसे भारी होता है, वही सिरों की दिशा तय करता है।
| aₙ > 0 | aₙ < 0 | |
|---|---|---|
| n सम | ↖ … ↗ (दोनों ऊपर) | ↙ … ↘ (दोनों नीचे) |
| n विषम | ↙ … ↗ | ↖ … ↘ |
सममिति: केवल सम घातें → सम फलन (y-अक्ष सममिति); केवल विषम घातें → विषम फलन (मूलबिंदु सममिति)।
शून्यक, गुणनखंड और बहुलता
गुणनखंड प्रमेय: f(r) = 0 तभी जब (x − r) गुणनखंड हो। शेषफल प्रमेय: f(x) को (x − r) से भाग देने पर शेषफल f(r).
(x − r) k बार आए तो r की बहुलता k:
- k = 1: ग्राफ़ सीधा पार करता है।
- k = 2 (सम): छूकर लौटता है।
- k = 3: पार करता है पर y = x³ की तरह चपटा होकर।
गुणनखंड रूप से रेखाचित्र: (1) शून्यक, (2) y-अंतःखंड f(0), (3) अग्र पद से सिरे, (4) हर शून्यक पर पार या उछाल।
ग्राफ़ से समीकरण: शून्यक और बहुलता पढ़ो, y = a(x − r₁)(x − r₂)… लिखो, एक और बिंदु से a निकालो। y = k(x − r₁)(x − r₂) बहुपदों का एक कुल (family) है।
घुमाव बिंदु और बहुपद समीकरण हल करना
घात n के बहुपद में अधिकतम n − 1 घुमाव बिंदु और अधिकतम n वास्तविक शून्यक होते हैं।
- सार्व गुणनखंड बाहर निकालो।
- a₀ के पूर्णांक गुणनखंड आज़माओ (परिमेय मूल परीक्षण)।
- f(r) = 0 मिले तो (x − r) से भाग दो (लंबा या संश्लिष्ट भाग)।
- बचा द्विघात हल करो।
असमिकाएँ f(x) > 0: शून्यक निकालो, फिर ग्राफ़ या चिह्न-सारणी से देखो कि वक्र अक्ष के ऊपर कहाँ है।
सम्मिश्र शून्यक
बीजगणित का मूलभूत प्रमेय: घात n के बहुपद के ठीक n शून्यक होते हैं (बहुलता और सम्मिश्र सहित)।
वास्तविक गुणांक हों तो सम्मिश्र शून्यक संयुग्मी जोड़ों a ± bi में आते हैं। ये x-अंतःखंड नहीं बनते। उदाहरण: x³ − x² + 4x − 4 = (x − 1)(x² + 4): शून्यक 1, 2i, −2i; ग्राफ़ अक्ष को केवल एक बार काटता है।
परिवर्तन की दर
औसत परिवर्तन दर x = a से x = b: [f(b) − f(a)] ÷ (b − a), यानी छेदक का ढाल।
- रैखिक: दर हर जगह समान (ढाल)।
- द्विघात: दर एक समान ढंग से बदलती है; पहले अंतर स्थिर मात्रा से बढ़ते हैं।
- ऊँची घात: दर और तेज़ी से बदलती है।
तात्क्षणिक दर x = a पर: अंतराल (a, a + h) में h बहुत छोटा करो; छेदक स्पर्शरेखा बन जाती है। घुमाव बिंदु पर यह 0 है। आगे यही अवकलज (derivative) बनता है।
करके देखो: डिब्बा बनाओ
A4 जैसी शीट (लगभग 30 cm × 21 cm) लो। कोनों से x भुजा के बराबर वर्ग काटकर डिब्बा मोड़ो। x = 2, 4, 6 cm आज़माकर आयतन नापो। V = x(30 − 2x)(21 − 2x) से मिलाओ। किस x पर सबसे बड़ा डिब्बा? (लगभग 4 cm: एक घुमाव बिंदु।)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀
- गुणनखंड प्रमेय: f(r) = 0 ⇔ (x − r) गुणनखंड है
- f(x) ÷ (x − r) का शेषफल = f(r)
- वास्तविक शून्यक ≤ n; घुमाव बिंदु ≤ n − 1
- औसत दर = [f(b) − f(a)] / (b − a)
- तात्क्षणिक दर ≈ [f(a + h) − f(a)] / h, h → 0
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = −2x⁴ + 3x − 1 की घात, अग्र गुणांक और अंत व्यवहार लिखो।
घात 4 (सम), aₙ = −2 (ऋणात्मक)। दोनों सिरे नीचे: ↙ … ↘.
2. f(x) = x(x − 2)²(x + 3) के शून्यक और पार/उछाल बताओ।
x = 0 (×1, पार), x = 2 (×2, उछाल), x = −3 (×1, पार)।
3. क्या (x − 2), x³ − 3x² + 4 का गुणनखंड है?
f(2) = 8 − 12 + 4 = 0. हाँ।
4. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 हल करो।
x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0, तो (x − 1) गुणनखंड। भाग देने पर x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). शून्यक 1, 2, 3.
5. एक घन बहुपद के शून्यक −1, 2, 4 हैं और यह (0, 16) से गुज़रता है। बहुपद लिखो।
y = a(x + 1)(x − 2)(x − 4). x = 0 पर 8a = 16, a = 2. y = 2(x + 1)(x − 2)(x − 4).
6. f(x) = x³ की x = 1 से x = 3 तक औसत परिवर्तन दर?
(27 − 1) ÷ 2 = 13.
7. x³ + x² + 9x + 9 के सभी शून्यक निकालो।
x²(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x² + 9). शून्यक −1, 3i, −3i.
8. (x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0 हल करो।
शून्यक −2, 1, 3; विषम घात, a > 0, ग्राफ़ नीचे से शुरू। −2 < x < 1 और x > 3 पर अक्ष के ऊपर।
आम गलतियाँ
- सिरे पहले लिखे पद से पढ़ना, सबसे बड़ी घात से नहीं।
- हर शून्यक को पार मानना; सम बहुलता सिर्फ़ छूती है।
- मानना कि चतुर्घात के 4 x-अंतःखंड होंगे ही। कुछ शून्यक सम्मिश्र या दोहराए हो सकते हैं।
- चिह्न की भूल: (x + 2) से शून्यक x = −2 है, 2 नहीं।