बहुपद समीकरण क्या है?
बहुपद समीकरण p(x) = 0 है, जहाँ p(x) एक बहुपद है। x की सबसे बड़ी घात को घात कहते हैं।
- घात 3: त्रिघात, जैसे x³ − 6x² + 11x − 6 = 0।
- घात 4: चतुर्घात, जैसे x⁴ − 5x² + 4 = 0।
हल (मूल) x का वह मान है जो समीकरण को सही बना दे। ग्राफ़ y = p(x) पर हर वास्तविक हल वह बिंदु है जहाँ वक्र x-अक्ष से मिलता है।
घात n के बहुपद के अधिक से अधिक n वास्तविक मूल होते हैं। त्रिघात का कम से कम एक वास्तविक मूल ज़रूर होता है, क्योंकि उसके दोनों सिरे उल्टी दिशाओं में जाते हैं।
गुणनखंड प्रमेय से त्रिघात और चतुर्घात हल करना
गुणनखंड प्रमेय: यदि p(a) = 0, तो (x − a) गुणनखंड है। तीन क़दम:
- अंदाज़ा: अचर पद के भाजक लिखो (6 के लिए ±1, ±2, ±3, ±6)। p(a) = 0 मिलने तक जाँचो।
- भाग: p(x) को (x − a) से भाग दो (संश्लिष्ट या लंबा भाग)। घात 1 घट जाती है।
- ख़त्म: छोटा बहुपद हल करो। द्विघात के गुणनखंड करो या द्विघात सूत्र लगाओ।
अग्र गुणांक 1 न हो तो परिमेय मूल p/q भी हो सकते हैं: p अचर पद का भाजक, q अग्र गुणांक का भाजक।
समूह बनाकर
x³ + 2x² − 9x − 18 = x²(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x² − 9) = (x + 2)(x − 3)(x + 3)।
पहले सार्व गुणनखंड
2x⁴ − 8x² = 0 में 2x² निकालो: 2x²(x² − 4) = 0, तो x = 0 (दोहरा मूल), 2 या −2।
जो समीकरण द्विघात बन जाते हैं
द्विवर्गी समीकरण में सिर्फ़ सम घातें होती हैं: ax⁴ + bx² + c = 0। t = x² रखो (तो x⁴ = t²), t में द्विघात मिलेगा।
उदाहरण: x⁴ − 5x² + 4 = 0 → t² − 5t + 4 = 0 → (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 या 4। x² = 1 से x = ±1, x² = 4 से x = ±2।
ध्यान: t = x² कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। t = −3 आए तो उससे कोई वास्तविक x नहीं।
यही तरकीब दोहराए गए भाग पर भी: (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0 में t = x² + x।
चिह्न सारणी से बहुपद असमिकाएँ
p(x) > 0 या p(x) < 0 हल करने के लिए:
- p(x) के गुणनखंड करके मूल निकालो।
- मूलों को संख्या रेखा पर लगाओ। वे रेखा को अंतरालों में बाँटते हैं।
- हर अंतराल में एक परीक्षण मान से p(x) का चिह्न देखो।
- ज़रूरी अंतराल चुनो।
उदाहरण: (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0। मूल 1, 2, 3। x > 3 पर सब कोष्ठक धनात्मक, p > 0। हर एकल मूल पर चिह्न बदलता है: x > 3 पर +, 2 और 3 के बीच −, 1 और 2 के बीच +, x < 1 पर −। उत्तर: 1 < x < 2 या x > 3।
दोहरे मूल ((x − 2)² जैसे) पर चिह्न नहीं बदलता; वक्र अक्ष को बस छूता है।
परिमेय समीकरण और असमिकाएँ
परिमेय व्यंजक दो बहुपदों की भिन्न है, P(x)/Q(x)। 0 से भाग कभी नहीं होता, इसलिए पहले प्रांत लिखो: सारे x जिनके लिए Q(x) ≠ 0।
P(x)/Q(x) = 0 का अर्थ: P(x) = 0 और Q(x) ≠ 0।
उदाहरण: (x² − 4)/(x − 2) = 0। अंश x = ±2 पर शून्य, पर x = 2 पर हर शून्य हो जाता है। तो हल केवल x = −2।
दोनों तरफ़ भिन्न
दोनों पक्षों को सामान्य हर से गुणा करो, बहुपद समीकरण हल करो, फिर हर उत्तर को प्रांत से जाँचो।
उदाहरण: 3/(x − 1) = x + 1, प्रांत x ≠ 1। गुणा: 3 = x² − 1, x² = 4, x = ±2। दोनों मान्य।
परिमेय असमिकाएँ
जिस व्यंजक का चिह्न पता न हो उससे गुणा मत करो। सब एक तरफ़ लाकर एक भिन्न बनाओ, और अंश व हर दोनों के शून्यकों से चिह्न सारणी बनाओ। हर के शून्यक कभी शामिल नहीं होते।
उदाहरण: (x − 3)/(x + 1) ≥ 0 का हल x < −1 या x ≥ 3।
करके देखो: एक प्रयोग
3D में: आख़िरी चरण में स्लाइडर से त्रिघात वक्र ऊपर-नीचे करो। पहले अनुमान लगाओ: 1 हल होगा या 3? फिर गिनती देखो। वह k ढूँढो जहाँ दो मूल मिलकर एक हो जाएँ (वक्र अक्ष को बस छुए)।
घर पर: एक A4 कागज़ (लगभग 30 cm × 21 cm) लो। कोनों से x भुजा के बराबर वर्ग काटकर डिब्बा मोड़ो। x = 2, 3, 4, 5 cm पर आयतन मापो। कौन-सा x सबसे बड़ा डिब्बा देता है? यह त्रिघात V = x(30 − 2x)(21 − 2x) है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- गुणनखंड प्रमेय: p(a) = 0 ⇔ (x − a) गुणनखंड
- पूर्णांक मूल अचर पद के भाजक; परिमेय मूल p/q: p | अचर पद, q | अग्र गुणांक
- घात n ⇒ अधिकतम n वास्तविक मूल; त्रिघात के कम से कम 1
- द्विवर्गी ax⁴ + bx² + c = 0: t = x², t ≥ 0 चाहिए
- P(x)/Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 और Q(x) ≠ 0
- द्विघात सूत्र: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
हल किए गए उदाहरण
1. हल करो: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0।
x = 1 जाँचो: 1 − 6 + 11 − 6 = 0। (x − 1) से भाग: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)। हल x = 1, 2, 3।
2. हल करो: x³ + 2x² − 9x − 18 = 0।
समूह: x²(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x − 3)(x + 3)। हल x = −2, 3, −3।
3. हल करो: x⁴ − 5x² + 4 = 0।
t = x²: (t − 1)(t − 4) = 0, t = 1 या 4। x = ±1, ±2।
4. वास्तविक संख्याओं में हल करो: x⁴ + x² − 12 = 0।
t = x²: (t + 4)(t − 3) = 0। t = −4 असंभव। x² = 3 से x = ±√3।
5. x³ − 3x² − 4x + 12 = 0 हल करो, फिर x³ − 3x² − 4x + 12 < 0।
समूह: (x − 3)(x − 2)(x + 2)। मूल −2, 2, 3। चिह्न: x < −2 पर −, −2 से 2 तक +, 2 से 3 तक −, x > 3 पर +। तो p < 0 जब x < −2 या 2 < x < 3।
6. हल करो: (x² − 9)/(x + 3) = 0।
प्रांत x ≠ −3। अंश x = ±3 पर शून्य, पर −3 मान्य नहीं। हल x = 3।
7. हल करो: 2x³ − 3x² − 3x + 2 = 0।
x = 2: 16 − 12 − 6 + 2 = 0। (x − 2) से भाग: 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1)। हल x = 2, 1/2, −1।
8. हल करो: (x + 2)/(x − 1) ≤ 0।
शून्यक: अंश x = −2, हर x = 1। चिह्न: x < −2 पर +, बीच में −, x > 1 पर +। −2 शामिल, 1 नहीं। उत्तर −2 ≤ x < 1।
आम गलतियाँ
- दोनों पक्षों को x से भाग देकर मूल x = 0 खो देना। x को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालो।
- t = x² को ऋणात्मक रखकर x = √(−4) लिख देना। ऋणात्मक t से कोई वास्तविक मूल नहीं।
- परिमेय समीकरण के उत्तर को प्रांत से न जाँचना (हर शून्य)।
- परिमेय असमिका को (x − 1) से गुणा कर देना जबकि उसका चिह्न पता नहीं; इससे असमिका उलट सकती है।