भाग के हमेशा चार हिस्से होते हैं
17 को 5 से भाग दो तो 3 आता है और 2 बचता है। लिखते हैं 17 = 5 × 3 + 2। यहाँ 17 भाज्य (जिसे बाँटा जा रहा है), 5 भाजक (जिससे भाग देते हैं), 3 भागफल और 2 शेषफल (जो बचा) है।
बहुपद भी इसी नियम पर चलते हैं। p(x) को d(x) से भाग देने पर भागफल q(x) और शेषफल r(x) मिलते हैं:
p(x) = d(x) × q(x) + r(x), और r(x) की घात d(x) की घात से छोटी होती है।
जब भाजक (x − a) जैसा हो (घात 1), तो शेषफल की घात 0 होती है। मतलब शेषफल बस एक संख्या है।
शेषफल प्रमेय
शेषफल प्रमेय: p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल p(a) होता है।
यह सही क्यों है
लिखो p(x) = (x − a) × q(x) + r। यह हर x के लिए सही है। अब x = a चुनो। (a − a) = 0, और 0 गुणा कुछ भी = 0। तो p(a) = 0 + r = r।
चित्र में देखो
y = p(x) के ग्राफ़ पर, शेषफल x = a पर वक्र की ऊँचाई है (ऊपर या नीचे)। 3D में पीली छड़ यही ऊँचाई दिखाती है।
(ax − b) से भाग
भाजक (2x − 1) हो तो वह x = 1/2 पर शून्य होता है। इसलिए शेषफल p(1/2)। सामान्य रूप: (ax − b) से भाग का शेषफल p(b/a)।
चिह्न का ध्यान
- (x − 4) से भाग: x = 4 रखो।
- (x + 4) से भाग: x = −4 रखो, क्योंकि x + 4 = x − (−4)।
गुणनखंड प्रमेय
गुणनखंड वह है जो पूरा-पूरा भाग दे, कुछ न बचे। इसलिए:
गुणनखंड प्रमेय: (x − a), p(x) का गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a) = 0।
“यदि और केवल यदि” का मतलब दोनों तरफ़ सही: p(a) = 0 तो (x − a) गुणनखंड है, और (x − a) गुणनखंड है तो p(a) = 0।
जिस a पर p(a) = 0 हो, उसे बहुपद का शून्यक (मूल) कहते हैं। ग्राफ़ पर यह वह बिंदु है जहाँ वक्र x-अक्ष से मिलता है।
शून्यक कहाँ ढूँढें
अगर सारे गुणांक पूर्णांक हों, तो हर पूर्णांक शून्यक अचर पद को पूरा भाग देता है। x³ − 2x² − 5x + 6 के लिए 6 के भाजक आज़माओ: ±1, ±2, ±3, ±6। इसे परिमेय मूल परीक्षण कहते हैं।
लंबा भाग और संश्लिष्ट भाग
शेषफल प्रमेय सिर्फ़ शेषफल देता है। भागफल भी चाहिए तो भाग करना पड़ेगा।
लंबा भाग
संख्याओं जैसा ही: पहले पद का भाग, वापस गुणा, घटाओ, अगला पद नीचे लाओ, दोहराओ।
संश्लिष्ट भाग (x − a के लिए छोटा तरीका)
गुणांक एक पंक्ति में लिखो। पहला नीचे उतारो। a से गुणा करो, अगले गुणांक में जोड़ो, दोहराओ। आख़िरी संख्या शेषफल है, बाकी भागफल के गुणांक।
उदाहरण: (x³ − 2x² − 5x + 6) ÷ (x − 1), गुणांक 1, −2, −5, 6 और a = 1:
- 1 नीचे।
- 1 × 1 = 1; −2 + 1 = −1।
- −1 × 1 = −1; −5 + (−1) = −6।
- −6 × 1 = −6; 6 + (−6) = 0 ← शेषफल।
भागफल x² − x − 6, शेषफल 0। गायब घात के लिए 0 ज़रूर लिखो (x³ + 5 के गुणांक 1, 0, 0, 5)।
करके देखो: एक प्रयोग
3D में: आख़िरी चरण में a का स्लाइडर खिसकाओ। छोड़ने से पहले कागज़ पर p(a) निकालकर शेषफल का अनुमान लगाओ, फिर पीली छड़ से मिलाओ। वे तीनों मान ढूँढो जहाँ गेंद हरी हो जाती है।
घर पर: 23 सिक्के लो, 4-4 की ढेरियाँ बनाओ। पूरी ढेरियाँ और बचे सिक्के गिनो। जाँचो: 4 × ढेरियाँ + बचे = 23। यही है भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- भाग: p(x) = d(x) · q(x) + r(x), r की घात < d की घात
- शेषफल प्रमेय: p(x) ÷ (x − a) का शेषफल p(a)
- p(x) ÷ (ax − b) का शेषफल p(b/a)
- गुणनखंड प्रमेय: (x − a) गुणनखंड ⇔ p(a) = 0
- पूर्णांक शून्यक अचर पद के भाजक होते हैं
हल किए गए उदाहरण
1. x³ − 2x² − 5x + 6 को (x − 2) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करो।
x = 2 रखो: 8 − 8 − 10 + 6 = −4। शेषफल −4।
2. 2x³ + x² − 4 को (x + 1) से भाग देने पर शेषफल?
x + 1 = 0 से x = −1। p(−1) = −2 + 1 − 4 = −5। शेषफल −5।
3. 4x² − 2x + 3 को (2x − 1) से भाग देने पर शेषफल?
2x − 1 = 0 से x = 1/2। p(1/2) = 1 − 1 + 3 = 3। शेषफल 3।
4. दिखाओ कि (x − 3), x³ − 2x² − 5x + 6 का गुणनखंड है।
p(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0। शेषफल 0, इसलिए गुणनखंड प्रमेय से (x − 3) गुणनखंड है।
5. k ज्ञात करो यदि (x − 2), x³ + kx² − 4x + 4 का गुणनखंड है।
p(2) = 0: 8 + 4k − 8 + 4 = 0, तो 4k = −4, k = −1।
6. x³ − 2x² − 5x + 6 के पूरे गुणनखंड करो।
6 के भाजक आज़माओ: p(1) = 0, तो (x − 1) गुणनखंड। संश्लिष्ट भाग से x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)। अतः p(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)।
7. p(x) को (x − 1) से भाग देने पर शेषफल 3 और (x + 2) से भाग देने पर −6 है। (x − 1)(x + 2) से भाग देने पर शेषफल?
भाजक घात 2 का है, तो शेषफल ax + b। p(1) = a + b = 3, p(−2) = −2a + b = −6। घटाने पर 3a = 9, a = 3, b = 0। शेषफल 3x।
आम गलतियाँ
- चिह्न की गलती: (x + 5) के लिए x = −5 रखना है, 5 नहीं।
- (2x − 3) के लिए x = 3 रख देना। भाजक को 0 के बराबर रखकर हल करो: x = 3/2।
- संश्लिष्ट भाग में गायब घात का 0 भूल जाना (x³ − 7x + 6 → 1, 0, −7, 6)।
- सोचना कि शेषफल 0 नहीं आया तो गलती हुई। इसका मतलब बस इतना है कि (x − a) गुणनखंड नहीं है।