बहुपद विभाजन, हॉर्नर विधि और मूल

बहुपद का बीजीय रूप और बहुपदीय फलन

x में बहुपद इस तरह का योग होता है: p(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀। संख्याएँ a₀, a₁, … गुणांक कहलाती हैं। शून्येतर गुणांक वाली सबसे बड़ी घात घात (degree) है। x³ − 6x² + 11x − 6 की घात 3 है और गुणांक 1, −6, 11, −6 हैं।

इसे दो तरह से देख सकते हैं। बीजीय रूप में यह बस लिखा हुआ योग है। बहुपदीय फलन में यह एक संख्या लेकर एक संख्या देता है: p(2) = 8 − 24 + 22 − 6 = 0। दो बहुपद तभी बराबर हैं जब उनके सारे गुणांक बराबर हों। बहुपदों को जोड़ने और गुणा करने पर फिर बहुपद ही मिलता है, इसीलिए वे एक वलय (ring) बनाते हैं। भाग हमेशा वलय के अंदर नहीं रहता, इसलिए हम शेषफल सहित भाग करते हैं।

शेषफल सहित भाग और हॉर्नर विधि

किसी भी बहुपद p और किसी शून्येतर भाजक d के लिए अद्वितीय बहुपद q (भागफल) और r (शेषफल) मिलते हैं, जिनके लिए

p = d · q + r, और r की घात < d की घात।

जैसे संख्याओं में: 17 = 5 × 3 + 2।

हॉर्नर विधि (x − a) से भाग करने का तेज़ तरीका है। गुणांक एक पंक्ति में लिखो। पहला नीचे उतारो। फिर दोहराओ: अभी लिखी संख्या को a से गुणा करो, अगला गुणांक जोड़ो, नतीजा लिखो। आख़िरी संख्या शेषफल है और बाकी भागफल के गुणांक हैं।

बेज़ू प्रमेय, महत्तम समापवर्तक, लघुत्तम और अखंडनीय गुणनखंड

बेज़ू (शेषफल) प्रमेय: p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल p(a) होता है। इसलिए (x − a), p को तभी विभाजित करता है जब p(a) = 0। तब a को मूल (शून्यक) कहते हैं। 3D में देखो: आख़िरी बैंगनी बार p(a) के बराबर है।

दो बहुपदों का म.स. (gcd) सबसे ऊँची घात वाला उभयनिष्ठ भाजक है। इसे बार-बार शेषफल सहित भाग से निकालते हैं (यूक्लिड विधि), संख्याओं की तरह। ल.स. (lcm) = p·q ÷ gcd(p, q) (एक अचर तक)। उदाहरण: x² − 1 = (x − 1)(x + 1) और x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), इसलिए gcd = x − 1 और lcm = (x − 1)(x + 1)(x − 2)।

बहुपद अखंडनीय (irreducible) है यदि उसे कम घात वाले दो बहुपदों के गुणनफल में न लिखा जा सके। वास्तविक संख्याओं में हर अखंडनीय बहुपद की घात 1 होती है, या घात 2 और ऋणात्मक विविक्तकर (जैसे x² + 1)। परिमेय संख्याओं में x² − 2 अखंडनीय है, पर वास्तविक संख्याओं में (x − √2)(x + √2) बन जाता है।

मूल और वियेत संबंध

यदि बहुपद के मूल x₁, x₂, … हैं तो p(x) = aₙ(x − x₁)(x − x₂)…। गुणा करने पर मूल और गुणांक जुड़ जाते हैं। यही वियेत संबंध हैं।

ax² + bx + c = 0 के लिए: x₁ + x₂ = −b/a और x₁x₂ = c/a।

ax³ + bx² + cx + d = 0 के लिए: x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = −d/a।

पूर्णांक मूल के लिए टिप: कोई भी पूर्णांक मूल अचर पद को विभाजित करता है। x³ − 6x² + 11x − 6 के लिए ±1, ±2, ±3, ±6 आज़माओ। हर एक को हॉर्नर से जाँचो। और जानकारी: बहुपदों के मूल और सर्वसमिकाएँ।

विशेष समीकरण: द्विपद, व्युत्क्रम और द्विवर्ग

बीजीय समीकरण: p(x) = 0। हॉर्नर से एक मूल खोजो, उसे भाग देकर हटाओ, और छोटे भागफल पर फिर दोहराओ।

द्विपद समीकरण: xⁿ = c। उदाहरण x⁴ = 16 से वास्तविक संख्याओं में x = ±2।

द्विवर्ग (biquadratic): ax⁴ + bx² + c = 0। t = x² रखो, t में द्विघात हल करो, फिर x = ±√t। उदाहरण x⁴ − 5x² + 4 = 0: t = 1 या 4, इसलिए x = ±1, ±2।

व्युत्क्रम समीकरण: गुणांक आगे से और पीछे से एक जैसे पढ़ने में आते हैं, जैसे x⁴ + 2x³ − 6x² + 2x + 1 = 0। x² से भाग दो और t = x + 1/x रखो। तब x² + 1/x² = t² − 2 और t में द्विघात मिलता है।

खुद करके देखो: मूल ढूँढो

3D के आख़िरी चरण में a को 0 से 5 तक सरकाओ। पहले अनुमान लगाओ कि कौन से मान शेषफल 0 देंगे (अचर पद −6 देखो: पूर्णांक मूल 6 को विभाजित करेंगे)। फिर जाँचो। तुम्हें 1, 2 और 3 मिलेंगे। इन्हें जोड़ो: 6। यह −b/a = 6 के बराबर है, यानी वियेत का योग। इन्हें गुणा करो: 6। यह −d/a = 6 के बराबर है।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• p = d · q + r, r की घात < d की घात
• बेज़ू: p ÷ (x − a) का शेषफल = p(a)
• हॉर्नर: b₀ = a₃; bₖ = aₙ₋ₖ + a·bₖ₋₁; आख़िरी b = शेषफल
• वियेत (द्विघात): x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a
• वियेत (त्रिघात): Σx = −b/a, Σxx = c/a, xxx = −d/a
• ल.स.(p, q) = p·q / म.स.(p, q)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• हॉर्नर की पंक्ति में शून्य गुणांक भूल जाना। x³ − 4x + 1 के लिए 1, 0, −4, 1 लिखो।
• चिह्न की गलती: (x + 2) से भाग का मतलब a = −2 है, 2 नहीं।
• यह सोचना कि शेषफल हमेशा अचर होगा। उसकी घात बस भाजक से कम होनी चाहिए।
• वियेत में चिह्न मिलाना: मूलों का योग −b/a है, ऋण चिह्न के साथ।