Romania Clasa a XII-a Mathematics M1

1. Elements of algebra

Groups · Rings and fields · Polynomial rings

• समूह सिद्धांत: द्विआधारी संक्रिया, समूह, वलय और क्षेत्र – समूह (group) एक समुच्चय और एक संक्रिया है जो संवृत हो, साहचर्य हो, जिसमें तत्समक हो और हर अवयव का प्रतिलोम हो। घड़ी वाला गणित Z6 यह सब दिखाता है: सारणी, उपसमूह, अवयव की कोटि और लाग्रांज प्रमेय। वलय (ring) और क्षेत्र (field) में दूसरी संक्रिया भी जुड़ती है।
• बहुपद विभाजन, हॉर्नर विधि और मूल – बहुपद a·xⁿ जैसे पदों का योग होता है। बहुपदों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है, और शेषफल के साथ भाग भी: p = q·d + r, जहाँ r की घात d से कम होती है। (x − a) से भाग करने का तेज़ तरीका हॉर्नर विधि है, और शेषफल ठीक p(a) होता है (बेज़ू प्रमेय)। यदि p(a) = 0 तो a मूल है और (x − a) गुणनखंड है। मूलों और गुणांकों को वियेत संबंध जोड़ते हैं।

2. Elements of mathematical analysis

Antiderivatives · Definite integral · Applications of integrals

• समाकलन – समाकलन अवकलन को उलट देता है: अगर F′(x) = f(x), तो ∫f(x) dx = F(x) + C। हम मानक सूत्रों, प्रतिस्थापन (अंदर वाले हिस्से को u मानना), आंशिक भिन्न (भिन्न को तोड़ना) और खंडशः समाकलन (∫u dv = uv − ∫v du) से समाकलन करते हैं। निश्चित समाकल ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक वक्र के नीचे का चिह्नित क्षेत्रफल है, और मूल प्रमेय के अनुसार यह F(b) − F(a) के बराबर है।
• समाकलनों के अनुप्रयोग: वक्रों के नीचे क्षेत्रफल – वक्र y = f(x), x-अक्ष और रेखाओं x = a, x = b से घिरा क्षेत्रफल ∫ₐᵇ |f(x)| dx है: ऊँचाई y और चौड़ाई dx वाली पतली खड़ी पट्टियाँ जोड़ते हैं। x = g(y) रूप वाले वक्रों के लिए क्षैतिज पट्टियाँ लेते हैं। सममिति से काम बचता है: वृत्त, परवलय या दीर्घवृत्त का एक हिस्सा निकालो और गुणा करो। त्रिज्या r के वृत्त का क्षेत्रफल πr² और अर्ध-अक्ष a, b वाले दीर्घवृत्त का πab।

3. Synthesis themes

Revision for the Bacalaureat

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