समाकलन: अवकलन का व्युत्क्रम
अगर d/dx F(x) = f(x), तो F, f का प्रतिअवकलज (पूर्वग) है और ∫f(x) dx = F(x) + C। C समाकलन अचर है: कोई भी अचर जोड़ने से ढाल नहीं बदलती, इसलिए उत्तरों का पूरा परिवार होता है।
उत्तर को हमेशा अवकलन करके जाँचो: समाकल्य वापस मिलना चाहिए।
नियम: ∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx और ∫k f dx = k∫f dx।
मानक समाकल
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
- ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
- ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C
∫dx/(ax² + bx + c) के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर इन रूपों में लाओ।
प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन
जब समाकल्य में कोई फलन और उसका अवकलज (या उसका गुणज) दोनों हों, अंदर वाले फलन को u रखो।
∫2x cos(x²) dx: u = x², du = 2x dx → ∫cos u du = sin(x²) + C।
काम के परिणाम: ∫tan x dx = ln|sec x| + C, ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C, ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C।
आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन
उचित परिमेय फलन P(x)/Q(x) को तोड़ो:
- 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
- दोहराया गुणनखंड: A/(x − a) + B/(x − a)²
- न टूटने वाला द्विघात गुणनखंड: (Bx + C)/(x² + bx + c)
सुविधाजनक x रखकर A, B निकालो, फिर हर भाग का log में समाकलन करो। ऊपर की घात छोटी न हो तो पहले भाग दो।
खंडशः समाकलन
∫u dv = uv − ∫v du, यानी ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx।
u (पहला फलन) ILATE से चुनो। ∫x eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C।
विशेष: ∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C।
निश्चित समाकल और मूल प्रमेय
∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक y = f(x) के नीचे पतले आयतों के क्षेत्रफलों के योग की सीमा है (x-अक्ष के ऊपर +, नीचे −)।
कलन की मूल प्रमेय: (1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt का A′(x) = f(x)। (2) अगर F′ = f, तो ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)। +C की ज़रूरत नहीं।
निश्चित समाकल में प्रतिस्थापन करो तो सीमाएँ भी बदलो।
निश्चित समाकलों के गुण और मान निकालना
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt (अक्षर से फ़र्क नहीं)।
- a से b का समाकल = −(b से a का समाकल); ∫ₐᵃ f = 0।
- a से b = a से c + c से b (|x| जैसे फलनों में काम आता है)।
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx।
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx।
- ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx अगर f(2a − x) = f(x), और 0 अगर f(2a − x) = −f(x)।
- ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx अगर f सम है; 0 अगर f विषम है।
उदाहरण: I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx। गुण 5 से I = ∫ cos x/(cos x + sin x) dx भी। जोड़ो: 2I = π/2, I = π/4।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- खंडशः: ∫u dv = uv − ∫v du
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx
हल किए गए उदाहरण
1. ∫(3x² + 4x − 5) dx ज्ञात करो।
x³ + 2x² − 5x + C। जाँच: अवकलज 3x² + 4x − 5।
2. ∫(x + 1)/x dx ज्ञात करो।
∫(1 + 1/x) dx = x + ln|x| + C।
3. ∫ sin³x cos x dx ज्ञात करो।
u = sin x, du = cos x dx। ∫u³ du = sin⁴x/4 + C।
4. ∫ dx/(x² + 4x + 13) ज्ञात करो।
x² + 4x + 13 = (x + 2)² + 9। उत्तर (1/3) tan⁻¹((x + 2)/3) + C।
5. ∫ (x + 5)/((x + 1)(x + 2)) dx ज्ञात करो।
= A/(x + 1) + B/(x + 2)। x = −1: A = 4। x = −2: B = −3। उत्तर 4 ln|x + 1| − 3 ln|x + 2| + C।
6. ∫ x cos x dx ज्ञात करो।
u = x (A), dv = cos x dx (T), v = sin x। = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C।
7. ∫ ln x dx ज्ञात करो।
∫ln x · 1 dx, u = ln x, dv = dx। = x ln x − ∫1 dx = x ln x − x + C।
8. ∫₀² (x² + 1) dx का मान निकालो।
[x³/3 + x]₀² = 8/3 + 2 = 14/3।
9. ∫₋₁¹ x³ cos x dx का मान निकालो।
x³ cos x विषम है (f(−x) = −f(x)), इसलिए −1 से 1 तक समाकल 0।
10. ∫₀^(π/2) sin²x dx का मान निकालो।
गुण 5 से यह ∫₀^(π/2) cos²x dx के बराबर। जोड़ो: 2I = π/2, I = π/4।
आम गलतियाँ
- अनिश्चित समाकल में + C भूल जाना (निश्चित में ज़रूरी नहीं)।
- n = −1 के लिए ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) लगाना। ∫1/x dx = ln|x| + C।
- निश्चित समाकल में प्रतिस्थापन के बाद नए चर के लिए पुरानी सीमाएँ ही रखना।
- खंडशः में गलत u चुनना (जैसे ∫x eˣ dx में u = eˣ), जिससे नया समाकल और कठिन हो जाता है।