अवकल समीकरण क्या है? कोटि और घात
अवकल समीकरण में अज्ञात फलन y और उसके एक या अधिक अवकलज होते हैं, जैसे dy/dx = 2x या y″ + y = 0।
कोटि = सबसे ऊँचा अवकलज जो समीकरण में है। घात = उस सबसे ऊँचे अवकलज की घात, जब अवकलजों से करणी और भिन्न हटा दी जाएँ। घात तभी परिभाषित है जब समीकरण अवकलजों में बहुपद हो।
- dy/dx + y = 0: कोटि 1, घात 1।
- (d²y/dx²)³ + (dy/dx)⁴ = x: कोटि 2, घात 3।
- y‴ + sin(y′) = 0: कोटि 3, घात परिभाषित नहीं।
व्यापक और विशिष्ट हल
हल वह फलन है जो समीकरण को सत्य कर दे। व्यापक हल में उतने स्वेच्छ अचर होते हैं जितनी कोटि, जैसे dy/dx = y का y = Ceˣ। विशिष्ट हल में कोई स्वेच्छ अचर नहीं; दी गई शर्त जैसे y(0) = 1 से y = eˣ।
हल जाँचने के लिए उसे (और उसके अवकलज) समीकरण में रखो।
चर पृथक्करणीय समीकरण
अगर dy/dx = g(x)·h(y), तो dy/h(y) = g(x) dx लिखो और दोनों ओर समाकलन करो:
∫dy/h(y) = ∫g(x) dx + C।
उदाहरण: dy/dx = −x/y → y dy = −x dx → x² + y² = C (वृत्तों का परिवार)।
समघातीय अवकल समीकरण
F(x, y) शून्य घात का समघातीय है अगर F(λx, λy) = F(x, y); तब dy/dx = F(x, y) को y/x के फलन के रूप में लिख सकते हैं।
- y = vx रखो, तो dy/dx = v + x dv/dx।
- रखकर सरल करो; x और v अलग हो जाते हैं।
- समाकलन करो, फिर v = y/x वापस रखो।
अगर समीकरण dx/dy = G(x/y) जैसा हो तो x = vy रखो।
रैखिक प्रथम कोटि अवकल समीकरण
रूप: dy/dx + P(x) y = Q(x)।
- समाकलन गुणक: I.F. = e^∫P dx।
- हल: y × I.F. = ∫(Q × I.F.) dx + C।
उदाहरण: dy/dx + y = x। I.F. = eˣ। y eˣ = eˣ(x − 1) + C → y = x − 1 + Ce⁻ˣ।
dx/dy + P₁(y) x = Q₁(y) हो तो भूमिकाएँ बदलो: I.F. = e^∫P₁ dy और x × I.F. = ∫(Q₁ × I.F.) dy + C।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- कोटि = सबसे ऊँचा अवकलज; घात = उसकी घात (बहुपद रूप में)
- पृथक्करणीय: ∫dy/h(y) = ∫g(x) dx + C
- समघातीय: y = vx, dy/dx = v + x dv/dx
- रैखिक: dy/dx + Py = Q, I.F. = e^∫P dx
- y · I.F. = ∫Q · I.F. dx + C
हल किए गए उदाहरण
1. (d²y/dx²)² + 3(dy/dx)³ + y = 0 की कोटि और घात?
सबसे ऊँचा अवकलज d²y/dx², कोटि 2। उसकी घात 2, घात 2।
2. दिखाओ कि y = Ae²ˣ, dy/dx = 2y का हल है।
dy/dx = 2Ae²ˣ = 2y। समीकरण संतुष्ट, तो यह (एक अचर वाला) व्यापक हल है।
3. dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²) हल करो।
dy/(1 + y²) = dx/(1 + x²)। tan⁻¹y = tan⁻¹x + C।
4. dy/dx = e^(x − y), y(0) = 0 हल करो।
eʸ dy = eˣ dx → eʸ = eˣ + C। y(0) = 0: 1 = 1 + C → C = 0। eʸ = eˣ, यानी y = x।
5. समघातीय समीकरण dy/dx = (x + y)/x हल करो।
y = vx: v + x dv/dx = 1 + v → x dv/dx = 1 → v = ln|x| + C → y = x ln|x| + Cx।
6. समघातीय समीकरण dy/dx = (x² + y²)/(2xy) हल करो।
y = vx: x dv/dx = (1 − v²)/(2v) → 2v dv/(1 − v²) = dx/x → −ln|1 − v²| = ln|x| + c → x(1 − v²) = C → x² − y² = Cx।
7. dy/dx + 2y = e⁻ˣ हल करो।
P = 2, I.F. = e²ˣ। y e²ˣ = ∫eˣ dx = eˣ + C। y = e⁻ˣ + Ce⁻²ˣ।
8. dy/dx + y/x = x² (x > 0), y(1) = 1 हल करो।
I.F. = x। xy = ∫x³ dx = x⁴/4 + C। y(1) = 1: C = 3/4। y = x³/4 + 3/(4x)।
आम गलतियाँ
- sin(y′) = y जैसे समीकरण की घात बताना; यह y′ में बहुपद नहीं, इसलिए घात परिभाषित नहीं।
- + C भूलना, या दोनों ओर अलग-अलग अचर जोड़ना (एक C काफ़ी है)।
- रैखिक समीकरण को पहले dy/dx + Py = Q रूप में न लाना (dy/dx के गुणांक से भाग देना)।
- समघातीय में अंत में v = y/x वापस रखना भूल जाना।