रैखिक असमिका क्या है?
असमिका बताती है कि एक पक्ष दूसरे से बड़ा या छोटा है। चिह्न: < (से कम), > (से अधिक), ≤ (से कम या बराबर), ≥ (से अधिक या बराबर)।
- < और > वाली निरंतर (strict) असमिकाएँ, ≤ और ≥ वाली शिथिल (slack) असमिकाएँ।
- एक चर की रैखिक यानी केवल एक अक्षर, घात 1: 3x − 5 < 7।
- हल समुच्चय उन सभी मानों का समुच्चय है जो असमिका को सत्य बनाते हैं।
असमिका हल करने के नियम
- नियम 1: दोनों ओर एक ही संख्या जोड़ या घटा सकते हैं। चिह्न नहीं बदलता।
- नियम 2: दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं। चिह्न नहीं बदलता।
- नियम 3: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करें तो चिह्न उलट दें।
नियम 3 क्यों? 2 < 5। −1 से गुणा: −2 और −5। संख्या रेखा पर −2, −5 के दाईं ओर है, इसलिए −2 > −5। ऋणात्मक से गुणा रेखा को दर्पण की तरह पलट देता है (3D का चरण 3)।
दोनों ओर x से गुणा कभी न करें, क्योंकि x धनात्मक है या ऋणात्मक, पता नहीं।
एक चर में हल: चरण दर चरण
5 − 2x ≤ 11 हल करें।
- 5 घटाएँ: −2x ≤ 6।
- −2 से भाग (ऋणात्मक, चिह्न उलटें): x ≥ −3।
- जाँच x = 0: 5 ≤ 11 ✓। x = −4: 13 ≤ 11 ✗।
चर का क्षेत्र मायने रखता है। x प्राकृत संख्या हो तो x < 4 का हल 1, 2, 3 है; पूर्णांक हो तो …, −1, 0, 1, 2, 3; वास्तविक हो तो 4 से कम हर संख्या।
हल को संख्या रेखा पर दर्शाना
- संख्या रेखा बनाकर सिरे की संख्या अंकित करें।
- < या > के लिए खोखला (खुला) गोला: सिरा शामिल नहीं।
- ≤ या ≥ के लिए भरा (बंद) गोला: सिरा शामिल।
- <, ≤ के लिए बाईं ओर और >, ≥ के लिए दाईं ओर रंगें।
अंतराल रूप में: x < 4 = (−∞, 4); x ≥ −3 = [−3, ∞); −1 ≤ x < 3 = [−1, 3)। गोल कोष्ठक = शामिल नहीं, वर्ग कोष्ठक = शामिल।
पूर्णांक या प्राकृत हल के लिए केवल अलग-अलग बिंदु बनाएँ, पूरी पट्टी नहीं (3D का चरण 5)।
दोहरी असमिका और असमिका निकाय
−5 ≤ 2x + 1 < 7 जैसी दोहरी असमिका में तीनों भागों पर एक जैसा काम करें: 1 घटाएँ → −6 ≤ 2x < 6; 2 से भाग → −3 ≤ x < 3।
दो असमिकाओं के निकाय में दोनों को अलग हल करें, एक ही रेखा पर बनाएँ और साझा भाग लें। उदाहरण: x > −2 और x ≤ 5 से −2 < x ≤ 5। साझा भाग न हो तो कोई हल नहीं।
शाब्दिक प्रश्न और बोर्ड परीक्षा
मुख्य शब्द: ‘कम से कम’ = ≥, ‘अधिक से अधिक’ या ‘से अधिक नहीं’ = ≤, ‘से अधिक’ = >, ‘से कम’ = <।
बोर्ड में: हल करके रेखा पर दर्शाइए (2–3 अंक), प्राकृत/पूर्णांक हल (1–2 अंक), अंक, लागत या तापमान पर शाब्दिक प्रश्न (3–4 अंक)। हल समुच्चय लिखें और रेखा ज़रूर बनाएँ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a < b ⇒ a + c < b + c और a − c < b − c
- a < b, k > 0 ⇒ ka < kb और a/k < b/k
- a < b, k < 0 ⇒ ka > kb और a/k > b/k (चिह्न उलटा)
- खोखला गोला: <, >। भरा गोला: ≤, ≥
- x < a ↔ (−∞, a); x ≥ a ↔ [a, ∞); a ≤ x < b ↔ [a, b)
हल किए गए उदाहरण
1. 4x < 20 हल कीजिए, जब x (i) प्राकृत संख्या (ii) वास्तविक संख्या हो।
4 से भाग (धनात्मक): x < 5। (i) प्राकृत: {1, 2, 3, 4}। (ii) वास्तविक: 5 से कम हर x, यानी (−∞, 5); 5 पर खोखला गोला, बाईं ओर रंग।
2. 3x − 7 > 2 हल करके संख्या रेखा पर दर्शाइए।
7 जोड़ें: 3x > 9। 3 से भाग: x > 3। 3 पर खोखला गोला, दाईं ओर रंग। हल (3, ∞)।
3. 5 − 2x ≤ 11 हल कीजिए।
5 घटाएँ: −2x ≤ 6। −2 से भाग, चिह्न उलटा: x ≥ −3। −3 पर भरा गोला, दाईं ओर रंग। हल [−3, ∞)।
4. (x − 2)/3 ≥ (x + 1)/4 हल कीजिए।
दोनों ओर 12 से गुणा: 4(x − 2) ≥ 3(x + 1), 4x − 8 ≥ 3x + 3, x ≥ 11। हल [11, ∞)।
5. −4 < 3 − 2x ≤ 9 हल कीजिए।
तीनों भागों से 3 घटाएँ: −7 < −2x ≤ 6। −2 से भाग, दोनों चिह्न उलटें: 7/2 > x ≥ −3। यानी −3 ≤ x < 3.5, अंतराल [−3, 3.5)।
6. निकाय 2x + 1 > 5 और 3x − 4 ≤ 11 हल कीजिए।
पहली: x > 2। दूसरी: 3x ≤ 15, x ≤ 5। साझा भाग: 2 < x ≤ 5; 2 पर खोखला और 5 पर भरा गोला।
7. रिया को दो टेस्ट में 62 और 70 अंक मिले। औसत कम से कम 65 के लिए तीसरे टेस्ट (100 में से) में कितने अंक चाहिए?
तीसरे अंक x। (62 + 70 + x)/3 ≥ 65, 132 + x ≥ 195, x ≥ 63। अंक 100 से अधिक नहीं हो सकते, इसलिए 63 ≤ x ≤ 100।
8. 10 से बड़ी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के वे जोड़े ज्ञात कीजिए जिनका योग 40 से कम हो।
संख्याएँ x और x + 2, x विषम और x > 10। 2x + 2 < 40 से x < 19। x = 11, 13, 15, 17। जोड़े: (11, 13), (13, 15), (15, 17), (17, 19)।
आम गलतियाँ
- ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न न उलटना, जैसे −3x < 9 → x < −3 (गलत)। सही: x > −3।
- < या > के लिए भरा गोला बनाना। भरा गोला केवल ≤ और ≥ के लिए है।
- दोनों ओर x या ऐसे व्यंजक से गुणा करना जिसका चिह्न पता न हो।
- x प्राकृत या पूर्णांक होने पर पूरी पट्टी रंग देना। अलग-अलग बिंदु बनाएँ।