Integrales

La integral como inversa de la derivada

Si d/dx F(x) = f(x), entonces F es una primitiva (o antiderivada) de f y escribimos ∫f(x) dx = F(x) + C. C es la constante de integración: sumar una constante no cambia la pendiente, por eso hay toda una familia de respuestas.

Comprueba siempre tu resultado derivándolo: debes obtener otra vez la función que integraste.

Dos reglas básicas: ∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx y ∫k f dx = k∫f dx.

Integrales inmediatas

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
• ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C
• ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
• ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
• ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
• ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
• ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C

Para ∫dx/(ax² + bx + c), completa el cuadrado y llegarás a una de estas formas.

Integración por sustitución

Cuando en la integral hay una función y (un múltiplo de) su derivada, llama u a la función interior.

∫2x cos(x²) dx: u = x², du = 2x dx → ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.

Resultados útiles: ∫tan x dx = ln|sec x| + C, ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C, ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

Integración por fracciones simples

Para una fracción racional propia P(x)/Q(x), se descompone así:

• 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
• factor repetido: A/(x − a) + B/(x − a)²
• factor cuadrático que no se descompone: (Bx + C)/(x² + bx + c)

Halla A y B dando valores cómodos a x y luego integra cada trozo como un logaritmo. Si el grado del numerador no es menor, divide primero.

Integración por partes

∫u dv = uv − ∫v du, o también ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx.

Elige u (la primera función) con ILATE. ∫x eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.

Resultado especial: ∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C.

Integral definida y teorema fundamental

∫ₐᵇ f(x) dx es el límite de la suma de las áreas de rectángulos muy delgados bajo y = f(x) de a a b (el área sobre el eje x cuenta +, la que está debajo cuenta −).

Teorema fundamental del cálculo: (1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt cumple A′(x) = f(x). (2) Si F′ = f, entonces ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). No hace falta +C.

Si usas sustitución en una integral definida, cambia también los límites.

Propiedades y cálculo de integrales definidas

1. ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt (la letra no importa).
2. ∫ₐᵇ f = −∫ de b a a de f; ∫ₐᵃ f = 0.
3. ∫ de a a b = ∫ de a a c + ∫ de c a b (parte en c, útil con funciones como |x|).
4. ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx.
5. ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx.
6. ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx si f(2a − x) = f(x), y 0 si f(2a − x) = −f(x).
7. ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx si f es par; 0 si f es impar.

Clásico: I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx. Por la propiedad 5, I también = ∫ cos x/(cos x + sin x) dx. Sumando: 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, así que I = π/4.

Fórmulas y definiciones clave

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
• ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
• Por partes: ∫u dv = uv − ∫v du
• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
• ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx

Ejemplos resueltos

Errores comunes

• Olvidar el + C en las integrales indefinidas (en las definidas no hace falta).
• Usar ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) cuando n = −1. En ese caso ∫1/x dx = ln|x| + C.
• Tras una sustitución en una integral definida, seguir usando los límites antiguos para la variable nueva.
• Elegir mal u al integrar por partes (por ejemplo u = eˣ en ∫x eˣ dx), lo que deja una integral más difícil.