Permutaciones y combinaciones

Principio fundamental del conteo

Principio de multiplicación: si un suceso puede ocurrir de m maneras y, después, un segundo suceso puede ocurrir de n maneras, entonces los dos pueden ocurrir uno tras otro de m × n maneras. Sirve también para tres o más sucesos.

Ejemplo: un candado tiene 3 ruedas, cada una con los dígitos 0–9. Códigos = 10 × 10 × 10 = 1000.

Principio de suma: si una tarea se puede hacer de m maneras o de otras n maneras (no las dos a la vez), se puede hacer de m + n maneras. ‘Y’ significa multiplicar, ‘o’ significa sumar.

Notación factorial

n! (se lee ‘n factorial’) = 1 × 2 × 3 × … × n para un número natural n. Así, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

• Definimos 0! = 1. Así las fórmulas como ⁿPₙ = n!/0! siguen siendo correctas.
• n! = n × (n − 1)!, por eso 7!/5! = 7 × 6 = 42. Simplifica en lugar de multiplicarlo todo.

Permutaciones: la fórmula de nPr

Una permutación es una ordenación en un orden determinado. Para ordenar r objetos tomados de n objetos distintos (sin repetir): el primer lugar tiene n opciones, el segundo n − 1, …, el r-ésimo tiene n − r + 1. Entonces

ⁿPᵣ = n(n − 1)(n − 2)…(n − r + 1) = n!/(n − r)!, 0 ≤ r ≤ n.

• ⁿPₙ = n! (ordenar todos). ⁿP₀ = 1.
• Si se permite repetir, el número de ordenaciones es nʳ.
• Si entre n objetos hay p iguales de un tipo, q iguales de otro, y así sucesivamente, las ordenaciones de los n son n!/(p! q! …). Ejemplo: MISSISSIPPI tiene 11 letras con I×4, S×4, P×2, así que 11!/(4!·4!·2!) = 34650.

Combinaciones: la fórmula de nCr y su relación con nPr

Una combinación es una selección donde el orden no importa. Cada selección de r objetos se puede ordenar de r! maneras, y al hacerlo con todas las selecciones se obtienen las ⁿPᵣ ordenaciones. Por tanto

ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!, de donde sale ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!).

• ⁿC₀ = ⁿCₙ = 1.
• ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ: elegir r para llevarlos = elegir n − r para dejarlos (paso 5 del 3D). Por eso, si ⁿCₐ = ⁿC_b, entonces a = b o a + b = n.
• ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ (regla de Pascal, que se usa otra vez en el teorema del binomio).

Usos sencillos: ¿cuál uso?

Pregúntate: ¿cambia el resultado si cambio el orden? Sentarse, clasificar, formar números o palabras, contraseñas → permutación. Equipos, comités, apretones de manos, elegir preguntas, grupos de frutas → combinación.

• Apretones de manos entre 10 personas: ¹⁰C₂ = 45.
• Diagonales de un polígono de n lados: ⁿC₂ − n.
• Palabras con las letras de una palabra y con condiciones (vocales juntas: trátalas como un solo bloque y luego multiplica por las ordenaciones dentro del bloque).
• Preguntas de ‘al menos’ o ‘como máximo’: suma los casos por separado.

Qué se pregunta en los exámenes

Suele salir: hallar n a partir de una ecuación como ⁿP₄ = 12 · ⁿP₂ (2–3 puntos), ordenar letras con repetición o con condiciones (3–4 puntos), comités con ‘al menos’ (3–4 puntos) y preguntas del estilo ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ (1–2 puntos). Escribe con palabras la razón del conteo antes de poner los números.

Fórmulas y definiciones clave

• Principio del conteo: m maneras y luego n maneras → m × n maneras
• n! = 1 × 2 × … × n, 0! = 1, n! = n(n − 1)!
• ⁿPᵣ = n!/(n − r)!; con repetición nʳ
• Objetos iguales: n!/(p! q! r! …)
• ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!), ⁿPᵣ = ⁿCᵣ · r!
• ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ

Ejemplos resueltos

Errores comunes

• Usar nPr para equipos o comités. Si al cambiar el orden de dos personas elegidas el grupo es el mismo, usa nCr.
• Sumar cuando hay que multiplicar. ‘Esto y luego aquello’ se multiplica; ‘esto o aquello’ se suma.
• Olvidar dividir entre los factoriales de las letras repetidas en palabras como BANANA o MANZANA.
• Pensar que 0! = 0. Por definición, 0! = 1.