Sucesiones y series
Una sucesión es una lista de números en un orden fijo: a₁, a₂, a₃, …, donde aₙ es el término n (término general). Es finita si termina e infinita si sigue para siempre.
- Una sucesión puede darse con una fórmula, como aₙ = n² + 1 → 2, 5, 10, 17, …
- O con una regla que une los términos (una recurrencia), como a₁ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + 2 → 1, 3, 5, 7, …
Una serie es la suma de los términos: a₁ + a₂ + a₃ + … Escribimos Sₙ para la suma de los n primeros términos y usamos Σ (sigma) como abreviatura. Una sucesión cuyos términos siguen una regla clara se llama progresión.
Progresión aritmética y media aritmética (MA)
Recuerda de cursos anteriores: en una PA, cada término es el anterior más un número fijo, la diferencia común d. aₙ = a + (n − 1)d y Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] = n/2(a + l), donde l es el último término.
La media aritmética de dos números a y b es A = (a + b)/2. Entonces a, A, b forman una PA.
Intercalar n medias aritméticas entre a y b: necesitamos n + 2 términos en total, así que b = a + (n + 1)d, de donde d = (b − a)/(n + 1). Las medias son a + d, a + 2d, …, a + nd. Ejemplo: 3 medias aritméticas entre 4 y 16 → d = 3 → 7, 10, 13 (paso 2 del 3D).
Progresión geométrica: término general y suma
Una PG es una sucesión en la que cada término (después del primero) es el anterior multiplicado por un número fijo distinto de cero, la razón común r. Es decir, r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = …
- Término general: aₙ = a rⁿ⁻¹.
- Suma de n términos: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) o a(1 − rⁿ)/(1 − r), para r ≠ 1. Si r = 1, Sₙ = na.
Por qué funciona la fórmula de la suma: Sₙ = a + ar + … + arⁿ⁻¹. Multiplica por r: rSₙ = ar + ar² + … + arⁿ. Resta: rSₙ − Sₙ = arⁿ − a, así que Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1). Casi todos los términos se cancelan.
Truco: tres números en PG se pueden escribir como a/r, a, ar; entonces su producto es a³.
PG infinita y su suma
Si |r| < 1, rⁿ se acerca cada vez más a 0 al crecer n (por ejemplo (1/2)¹⁰ ≈ 0.001). Entonces Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) se acerca a
S∞ = a/(1 − r).
La suma nunca pasa de este valor; solo se aproxima a él (paso 4 del 3D). Si |r| ≥ 1, los términos no se encogen y no existe una suma infinita finita.
Uso: el decimal periódico 0.333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3.
Media geométrica (MG)
La media geométrica de dos números positivos a y b es G = √(ab). Entonces a, G, b forman una PG.
Intercalar n medias geométricas entre a y b: b = a rⁿ⁺¹, así que r = (b/a)^(1/(n+1)). Las medias son ar, ar², …, arⁿ. Ejemplo: 2 medias geométricas entre 3 y 81 → r³ = 27, r = 3 → 9, 27.
Relación entre la MA y la MG
Para números positivos a y b, con A = (a + b)/2 y G = √(ab):
A − G = (a + b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0, así que A ≥ G.
Un cuadrado nunca puede ser negativo, por eso la MA siempre es al menos la MG. Solo son iguales cuando √a = √b, es decir, a = b. En el 3D (paso 5) la barra verde A es más alta que la barra morada G.
Uso: si se conocen la MA y la MG de dos números, los números son las raíces de x² − 2Ax + G² = 0.
Qué se pregunta en los exámenes
Suele aparecer: hallar un término o el número de términos de una PG, la suma de n términos o de una PG infinita, intercalar medias aritméticas o geométricas, problemas con A ≥ G o para hallar números a partir de su MA y su MG, y problemas con texto sobre crecimiento o pelotas que rebotan.
Fórmulas y definiciones clave
- PA: aₙ = a + (n − 1)d, Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]
- MA: A = (a + b)/2; n medias aritméticas: d = (b − a)/(n + 1)
- PG: aₙ = arⁿ⁻¹, Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1
- PG infinita, |r| < 1: S∞ = a/(1 − r)
- MG: G = √(ab); n medias geométricas: r = (b/a)^(1/(n+1))
- A ≥ G; A − G = (√a − √b)²/2
Ejemplos resueltos
1. Escribe los cuatro primeros términos de aₙ = (n − 1)/(n + 1) y halla a₁₀.
a₁ = 0/2 = 0, a₂ = 1/3, a₃ = 2/4 = 1/2, a₄ = 3/5. a₁₀ = 9/11.
2. Intercala 4 medias aritméticas entre 3 y 23.
n = 4, así que d = (23 − 3)/5 = 4. Las medias son 7, 11, 15, 19. Comprobación: 3, 7, 11, 15, 19, 23 es una PA.
3. Halla el 8.º término de la PG 5, 10, 20, …
a = 5, r = 10/5 = 2. a₈ = 5 × 2⁷ = 5 × 128 = 640.
4. ¿Qué término de la PG 2, 2√2, 4, … es 128?
a = 2, r = √2. 2(√2)ⁿ⁻¹ = 128 → (√2)ⁿ⁻¹ = 64 = (√2)¹². Entonces n − 1 = 12, n = 13. Es el 13.º término.
5. Halla la suma de los 6 primeros términos de 1, 3, 9, …
a = 1, r = 3. S₆ = 1(3⁶ − 1)/(3 − 1) = (729 − 1)/2 = 364.
6. Halla la suma infinita de 6 + 2 + 2/3 + …
a = 6, r = 1/3, y |r| < 1. S∞ = 6/(1 − 1/3) = 6/(2/3) = 9.
7. Intercala 2 medias geométricas entre 4 y 108.
108 = 4r³ → r³ = 27 → r = 3. Medias: 4 × 3 = 12 y 12 × 3 = 36. Así: 4, 12, 36, 108.
8. La MA y la MG de dos números positivos son 10 y 8. Halla los números.
a + b = 20 y ab = 64. Son las raíces de x² − 20x + 64 = 0 = (x − 4)(x − 16). Los números son 4 y 16. Comprobación de A ≥ G: 10 ≥ 8.
9. Se deja caer una pelota desde 10 m. Cada vez que rebota sube la mitad de la altura anterior. Halla la distancia total que recorre.
Baja 10, luego sube y baja 5, 2.5, … cada altura dos veces. Total = 10 + 2(5 + 2.5 + 1.25 + …) = 10 + 2 × 5/(1 − 1/2) = 10 + 20 = 30 m.
Errores comunes
- Usar aₙ = arⁿ en vez de arⁿ⁻¹. El primer término es a = ar⁰.
- Usar S∞ = a/(1 − r) cuando |r| ≥ 1. Solo vale para |r| < 1.
- Calcular d para n medias aritméticas como (b − a)/n. Hay n + 1 huecos, así que d = (b − a)/(n + 1).
- Tomar la MG de un número negativo y uno positivo. Aquí la MG se define solo para números positivos.