Suites et séries
Une suite est une liste de nombres rangés dans un ordre précis : a₁, a₂, a₃, …, où aₙ est le n-ième terme (terme général). Elle est finie si elle s'arrête et infinie si elle continue sans fin.
- Une suite peut être donnée par une formule, comme aₙ = n² + 1 → 2, 5, 10, 17, …
- Ou par une règle qui relie les termes (une récurrence), comme a₁ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + 2 → 1, 3, 5, 7, …
Une série est la somme des termes : a₁ + a₂ + a₃ + … On note Sₙ la somme des n premiers termes, et on utilise Σ (sigma) comme raccourci. Une suite dont les termes suivent une règle claire s'appelle une progression.
Suite arithmétique et moyenne arithmétique (AM)
Rappel du collège : dans une AP, chaque terme est le précédent plus une raison d fixe. aₙ = a + (n − 1)d et Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] = n/2(a + l), où l est le dernier terme.
La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est A = (a + b)/2. Alors a, A, b forment une AP.
Insérer n moyennes arithmétiques entre a et b : il faut n + 2 termes au total, donc b = a + (n + 1)d, ce qui donne d = (b − a)/(n + 1). Les moyennes sont a + d, a + 2d, …, a + nd. Exemple : 3 moyennes entre 4 et 16 → d = 3 → 7, 10, 13 (étape 2 de la 3D).
Suite géométrique : terme général et somme
Une GP est une suite où chaque terme (après le premier) est le précédent multiplié par un nombre fixe non nul r, la raison. Donc r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = …
- Terme général : aₙ = a rⁿ⁻¹.
- Somme de n termes : Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) ou a(1 − rⁿ)/(1 − r), pour r ≠ 1. Si r = 1, Sₙ = na.
Pourquoi la formule de la somme marche : Sₙ = a + ar + … + arⁿ⁻¹. Multiplie par r : rSₙ = ar + ar² + … + arⁿ. Soustrais : rSₙ − Sₙ = arⁿ − a, donc Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1). Presque tous les termes s'annulent.
Astuce : trois nombres en GP peuvent s'écrire a/r, a, ar ; leur produit vaut alors a³.
Suite géométrique infinie et sa somme
Si |r| < 1, alors rⁿ se rapproche de plus en plus de 0 quand n grandit (par exemple (1/2)¹⁰ ≈ 0.001). Donc Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) se rapproche de
S∞ = a/(1 − r).
La somme ne dépasse jamais cette valeur ; elle s'en approche seulement (étape 4 de la 3D). Si |r| ≥ 1, les termes ne rétrécissent pas et il n'y a pas de somme infinie finie.
Utilité : le nombre décimal périodique 0.333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3.
Moyenne géométrique (GM)
La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est G = √(ab). Alors a, G, b forment une GP.
Insérer n moyennes géométriques entre a et b : b = a rⁿ⁺¹, donc r = (b/a)^(1/(n+1)). Les moyennes sont ar, ar², …, arⁿ. Exemple : 2 moyennes entre 3 et 81 → r³ = 27, r = 3 → 9, 27.
Relation entre AM et GM
Pour des nombres positifs a et b, avec A = (a + b)/2 et G = √(ab) :
A − G = (a + b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0, donc A ≥ G.
Un carré n'est jamais négatif, donc la moyenne arithmétique est toujours au moins égale à la moyenne géométrique. Elles sont égales seulement quand √a = √b, c'est-à-dire a = b. Dans la 3D (étape 5), la barre verte A est plus haute que la barre violette G.
Utilité : si l'on connaît AM et GM de deux nombres, ces nombres sont les racines de x² − 2Ax + G² = 0.
Ce qu'il faut savoir pour les examens
On te demandera souvent : trouver un terme ou le nombre de termes d'une GP (2 points), la somme de n termes ou d'une GP infinie (2 à 3 points), insérer des moyennes arithmétiques ou géométriques (3 points), des problèmes avec A ≥ G ou retrouver deux nombres à partir de leur AM et GM (3 à 4 points), et des problèmes de croissance ou de balle qui rebondit (4 points).
Formules et définitions clés
- AP : aₙ = a + (n − 1)d, Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]
- AM : A = (a + b)/2 ; n AM : d = (b − a)/(n + 1)
- GP : aₙ = arⁿ⁻¹, Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1
- GP infinie, |r| < 1 : S∞ = a/(1 − r)
- GM : G = √(ab) ; n GM : r = (b/a)^(1/(n+1))
- A ≥ G ; A − G = (√a − √b)²/2
Exemples résolus
1. Écris les quatre premiers termes de aₙ = (n − 1)/(n + 1) et trouve a₁₀.
a₁ = 0/2 = 0, a₂ = 1/3, a₃ = 2/4 = 1/2, a₄ = 3/5. a₁₀ = 9/11.
2. Insère 4 moyennes arithmétiques entre 3 et 23.
n = 4, donc d = (23 − 3)/5 = 4. Les moyennes sont 7, 11, 15, 19. Vérification : 3, 7, 11, 15, 19, 23 est une AP.
3. Trouve le 8e terme de la GP 5, 10, 20, …
a = 5, r = 10/5 = 2. a₈ = 5 × 2⁷ = 5 × 128 = 640.
4. Quel terme de la GP 2, 2√2, 4, … vaut 128 ?
a = 2, r = √2. 2(√2)ⁿ⁻¹ = 128 → (√2)ⁿ⁻¹ = 64 = (√2)¹². Donc n − 1 = 12, n = 13. C'est le 13e terme.
5. Trouve la somme des 6 premiers termes de 1, 3, 9, …
a = 1, r = 3. S₆ = 1(3⁶ − 1)/(3 − 1) = (729 − 1)/2 = 364.
6. Trouve la somme infinie de 6 + 2 + 2/3 + …
a = 6, r = 1/3, et |r| < 1. S∞ = 6/(1 − 1/3) = 6/(2/3) = 9.
7. Insère 2 moyennes géométriques entre 4 et 108.
108 = 4r³ → r³ = 27 → r = 3. Moyennes : 4 × 3 = 12 et 12 × 3 = 36. Donc 4, 12, 36, 108.
8. La moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres positifs sont 10 et 8. Trouve ces nombres.
a + b = 20 et ab = 64. Ce sont les racines de x² − 20x + 64 = 0 = (x − 4)(x − 16). Les nombres sont 4 et 16. Vérification de A ≥ G : 10 ≥ 8.
9. Une balle est lâchée de 10 m. À chaque rebond, elle remonte à la moitié de sa hauteur. Trouve la distance totale parcourue.
Descente de 10, puis montée et descente de 5, 2.5, … chacune deux fois. Total = 10 + 2(5 + 2.5 + 1.25 + …) = 10 + 2 × 5/(1 − 1/2) = 10 + 20 = 30 m.
Erreurs fréquentes
- Utiliser aₙ = arⁿ au lieu de arⁿ⁻¹. Le premier terme est a = ar⁰.
- Utiliser S∞ = a/(1 − r) quand |r| ≥ 1. Elle n'est valable que pour |r| < 1.
- Calculer d pour n moyennes arithmétiques par (b − a)/n. Il y a n + 1 intervalles, donc d = (b − a)/(n + 1).
- Prendre la moyenne géométrique d'un nombre négatif et d'un nombre positif. Ici, la GM n'est définie que pour des nombres positifs.