Les mots à connaître d'abord
- Données : une liste de nombres recueillis, comme des notes d'un contrôle.
- Moyenne (x̄) : on additionne toutes les valeurs et on divise par leur nombre. C'est le point d'équilibre.
- Médiane (M) : la valeur du milieu une fois les données rangées dans l'ordre.
- Écart à la moyenne : la distance d'une valeur au centre, x − x̄. Il peut être négatif ou positif.
- Dispersion : l'étalement. Une mesure de dispersion est un nombre qui dit à quel point les données sont étalées.
Pourquoi en a-t-on besoin ? Deux listes peuvent avoir la même moyenne mais être très différentes. La moyenne seule ne permet pas de les distinguer.
Étendue
Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur.
C'est rapide. Mais elle ne regarde que deux nombres. Une valeur très grande ou très petite (une valeur aberrante) peut rendre l'étendue énorme même si toutes les autres valeurs sont proches. Il nous faut donc de meilleures mesures.
Écart moyen pour des données non groupées
On trouve la distance de chaque valeur à un centre a (la moyenne ou la médiane). Distance veut dire qu'on ignore le signe moins : |x − a|.
E.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n
Étapes : (1) trouver la moyenne ou la médiane, (2) écrire chaque |x − a|, (3) les additionner, (4) diviser par n.
Pourquoi la valeur absolue ? Les écarts simples x − x̄ ont toujours une somme égale à 0. Les moins et les plus s'annulent. Supprimer les signes évite cela.
Fait : l'écart moyen par rapport à la médiane est le plus petit écart moyen possible.
Écart moyen pour des données groupées
Tableau d'effectifs discret (valeurs x d'effectifs f, N = Σf) : E.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N.
Classes continues (comme 0–10, 10–20) : on prend le centre de chaque classe comme x, puis la même formule.
Pour la médiane d'un tableau continu : on calcule N/2, on repère la classe médiane grâce aux effectifs cumulés, puis Médiane = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h, où l est la borne inférieure, cf l'effectif cumulé avant la classe, f son effectif et h l'amplitude de la classe.
Variance et écart type pour des données non groupées
Variance σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n. Le carré supprime les signes moins et donne plus de poids aux grandes distances.
Écart type σ = √variance. Il retrouve la même unité que les données (notes, cm, points).
Formule rapide (utile quand la moyenne est décimale) : σ² = Σx² ÷ n − (x̄)², ou σ = (1/n)√(nΣx² − (Σx)²).
σ n'est jamais négatif. σ = 0 seulement si toutes les valeurs sont égales.
Variance et écart type pour des données groupées
Discret ou continu (avec les centres de classe x) : σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N, ou la formule rapide σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)².
Méthode du changement de variable (elle simplifie les gros nombres) : on choisit une moyenne supposée A et l'amplitude de classe h, puis on pose u = (x − A) ÷ h. Alors
σ² = h² [ Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)² ] et x̄ = A + h × Σfu ÷ N.
Changer l'origine (ajouter un même nombre à toutes les valeurs) ne change pas σ. Multiplier toutes les valeurs par k multiplie σ par |k|.
Comparer deux séries : le coefficient de variation
Quand les moyennes sont différentes, on compare l'étalement avec C.V. = (σ ÷ x̄) × 100. La série qui a le plus petit C.V. est la plus régulière (la plus stable).
À toi : mesure l'étalement dans ta famille
Demande à 5 personnes chez toi combien de minutes elles ont dormi cette nuit (ou prends 5 notes de contrôle). Écris les nombres. Trouve l'étendue, puis la moyenne, puis chaque distance à la moyenne, puis les carrés. Calcule σ. Entre ensuite les mêmes 5 nombres avec les curseurs de la dernière étape 3D et vérifie ta réponse. Puis éloigne un curseur et regarde de combien σ saute.
Ce qu'on demande à l'examen
Dans les évaluations, une question longue typique demande l'écart moyen, ou la variance et l'écart type d'un tableau groupé. Présente toujours le tableau avec les colonnes x, f, fx, d ou u, fd², pour ne pas perdre de points de démarche.
Formules et définitions clés
- Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur
- E.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n (a = moyenne ou médiane)
- Groupé : E.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N
- Variance σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n = Σx² ÷ n − x̄²
- Groupé : σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N
- Changement de variable : σ² = h²[Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²], u = (x − A) ÷ h
- Écart type σ = √variance
- C.V. = (σ ÷ x̄) × 100
Exemples résolus
1. Trouve l'étendue de 12, 7, 19, 3, 15.
Plus grande = 19, plus petite = 3. Étendue = 19 − 3 = 16.
2. Trouve l'écart moyen par rapport à la moyenne pour 3, 5, 7, 9, 11.
Moyenne = 35 ÷ 5 = 7. Distances |x − 7| : 4, 2, 0, 2, 4. Somme = 12. E.M. = 12 ÷ 5 = 2.4.
3. Trouve l'écart moyen par rapport à la médiane pour 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
8 valeurs rangées, donc médiane = (9 + 10) ÷ 2 = 9.5. Distances : 5.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 2.5, 3.5, 7.5. Somme = 24. E.M. = 24 ÷ 8 = 3.
4. Trouve la variance et l'écart type de 6, 8, 10, 12, 14.
Moyenne = 50 ÷ 5 = 10. Écarts : −4, −2, 0, 2, 4. Carrés : 16, 4, 0, 4, 16. Somme = 40. Variance = 40 ÷ 5 = 8. Écart type = √8 ≈ 2.83.
5. Pour le tableau x : 2, 4, 6, 8 avec f : 1, 3, 4, 2, trouve l'écart moyen par rapport à la moyenne et l'écart type.
N = 10. Σfx = 2 + 12 + 24 + 16 = 54, donc x̄ = 5.4. |x − 5.4| : 3.4, 1.4, 0.6, 2.6. f|x − 5.4| : 3.4, 4.2, 2.4, 5.2, somme 15.2, donc E.M. = 1.52. Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324. σ² = 324 ÷ 10 − 5.4² = 32.4 − 29.16 = 3.24. σ = 1.8.
6. Les classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 ont pour effectifs 2, 3, 5, 3, 2. Trouve l'écart moyen par rapport à la moyenne, la variance et l'écart type.
Centres x : 5, 15, 25, 35, 45 ; N = 15. Σfx = 10 + 45 + 125 + 105 + 90 = 375, x̄ = 25. |x − 25| : 20, 10, 0, 10, 20 ; f × ces valeurs : 40, 30, 0, 30, 40 = 140 ; E.M. = 140 ÷ 15 ≈ 9.33. f(x − 25)² : 800, 300, 0, 300, 800 = 2200. σ² = 2200 ÷ 15 ≈ 146.67. σ ≈ 12.11.
7. Fais la même chose pour le même tableau (2, 3, 5, 3, 2 sur 0–50) avec la méthode du changement de variable.
Prends A = 25, h = 10, u = (x − 25) ÷ 10 : −2, −1, 0, 1, 2. fu : −4, −3, 0, 3, 4, Σfu = 0. fu² : 8, 3, 0, 3, 8, Σfu² = 22. σ² = 10² × [22 ÷ 15 − 0²] = 100 × 1.4667 ≈ 146.67. Même résultat avec des nombres plus petits.
8. Les classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 ont pour effectifs 4, 6, 8, 2. Trouve l'écart moyen par rapport à la médiane.
N = 20, N/2 = 10. Effectifs cumulés : 4, 10, 18, 20. La première classe dont l'effectif cumulé dépasse 10 est 20–30, donc l = 20, cf = 10, f = 8, h = 10. Médiane = 20 + ((10 − 10) ÷ 8) × 10 = 20. Centres 5, 15, 25, 35 ; |x − 20| : 15, 5, 5, 15 ; f × ces valeurs : 60, 30, 40, 30 = 160. E.M. = 160 ÷ 20 = 8.
9. Batteur A : moyenne 50, écart type 10. Batteur B : moyenne 80, écart type 12. Qui est le plus régulier ?
C.V.(A) = 10 ÷ 50 × 100 = 20%. C.V.(B) = 12 ÷ 80 × 100 = 15%. B a le plus petit C.V., donc B est plus régulier.
Erreurs fréquentes
- Additionner les écarts simples (x − x̄). Ils ont toujours une somme nulle. Utilise |x − x̄| pour l'écart moyen ou (x − x̄)² pour la variance.
- Oublier de multiplier par f pour des données groupées, ou diviser par le nombre de classes au lieu de N = Σf.
- Donner la variance quand la question demande l'écart type. Prends la racine carrée à la fin.
- Dans la méthode du changement de variable, oublier de multiplier par h² à la fin.