Le parole da conoscere prima
- Dati: un elenco di numeri raccolti, come i voti di un compito.
- Media (x̄): si sommano tutti i valori e si divide per quanti sono. È il punto di equilibrio.
- Mediana (M): il valore al centro dopo aver messo i dati in ordine.
- Scarto: quanto un valore è lontano dal centro, x − x̄. Può essere negativo o positivo.
- Dispersione: sparpagliamento. Una misura di dispersione è un solo numero che dice quanto i dati sono sparpagliati.
Perché serve? Due elenchi possono avere la stessa media ma essere molto diversi. La sola media non li distingue.
Il range
Range = valore massimo − valore minimo.
È veloce. Ma guarda solo due numeri. Un valore molto grande o molto piccolo (un valore anomalo) può rendere il range enorme anche se tutti gli altri sono vicini. Servono misure migliori.
Scarto medio per dati non raggruppati
Trova la distanza di ogni valore da un centro a (la media o la mediana). Distanza vuol dire che ignoriamo il segno meno: |x − a|.
S.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n
Passi: (1) trova la media o la mediana, (2) scrivi ogni |x − a|, (3) sommali, (4) dividi per n.
Perché il valore assoluto? Gli scarti semplici x − x̄ sommano sempre 0. Meno e più si annullano. Togliere i segni lo evita.
Fatto: lo scarto medio rispetto alla mediana è il più piccolo scarto medio possibile.
Scarto medio per dati raggruppati
Tabella di frequenze discreta (valori x con frequenze f, N = Σf): S.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N.
Classi continue (come 0–10, 10–20): usa il valore centrale di ogni classe come x, poi la stessa formula.
Per la mediana di una tabella continua: calcola N/2, trova la classe mediana con la frequenza cumulata, poi Mediana = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h, dove l è il limite inferiore, cf la frequenza cumulata prima della classe, f la sua frequenza e h l'ampiezza della classe.
Varianza e deviazione standard per dati non raggruppati
Varianza σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n. Il quadrato toglie i segni meno e dà più peso alle distanze grandi.
Deviazione standard σ = √varianza. Torna nella stessa unità dei dati (voti, cm, punti).
Formula rapida (utile quando la media è decimale): σ² = Σx² ÷ n − (x̄)², oppure σ = (1/n)√(nΣx² − (Σx)²).
σ non è mai negativa. σ = 0 solo quando tutti i valori sono uguali.
Varianza e deviazione standard per dati raggruppati
Discreti o continui (usa i valori centrali x): σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N, oppure la formula rapida σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)².
Metodo dello scarto ridotto (fa risparmiare lavoro con numeri grandi): scegli una media presunta A e l'ampiezza di classe h, poni u = (x − A) ÷ h. Allora
σ² = h² [ Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)² ] e x̄ = A + h × Σfu ÷ N.
Cambiare origine (sommare un numero a ogni valore) non cambia σ. Moltiplicare ogni valore per k moltiplica σ per |k|.
Confrontare due insiemi di dati: coefficiente di variazione
Quando le medie sono diverse, confronta la dispersione con C.V. = (σ ÷ x̄) × 100. L'insieme con il C.V. più piccolo è più regolare (più stabile).
Prova tu: misura la dispersione della tua famiglia
Chiedi a 5 persone di casa quanti minuti hanno dormito ieri notte (o usa 5 voti di compiti). Scrivi i numeri. Trova il range, poi la media, poi ogni distanza dalla media, poi i quadrati. Calcola σ. Ora inserisci gli stessi 5 numeri con i cursori nell'ultimo passo 3D e controlla il tuo risultato. Poi sposta un cursore molto lontano e guarda quanto salta σ.
Come si presenta la verifica
Nell'unità di Statistica e Probabilità una domanda tipica a risposta aperta chiede lo scarto medio oppure la varianza e la SD di una tabella raggruppata. Mostra sempre la tabella con le colonne x, f, fx, d oppure u, fd², così prendi punti anche sui passaggi.
Formule e definizioni chiave
- Range = valore massimo − valore minimo
- S.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n (a = media o mediana)
- Raggruppati: S.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N
- Varianza σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n = Σx² ÷ n − x̄²
- Raggruppati: σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N
- Scarto ridotto: σ² = h²[Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²], u = (x − A) ÷ h
- Deviazione standard σ = √varianza
- C.V. = (σ ÷ x̄) × 100
Esempi svolti
1. Trova il range di 12, 7, 19, 3, 15.
Massimo = 19, minimo = 3. Range = 19 − 3 = 16.
2. Trova lo scarto medio dalla media per 3, 5, 7, 9, 11.
Media = 35 ÷ 5 = 7. Distanze |x − 7|: 4, 2, 0, 2, 4. Somma = 12. S.M. = 12 ÷ 5 = 2.4.
3. Trova lo scarto medio dalla mediana per 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
8 valori in ordine, quindi mediana = (9 + 10) ÷ 2 = 9.5. Distanze: 5.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 2.5, 3.5, 7.5. Somma = 24. S.M. = 24 ÷ 8 = 3.
4. Trova varianza e deviazione standard di 6, 8, 10, 12, 14.
Media = 50 ÷ 5 = 10. Scarti: −4, −2, 0, 2, 4. Quadrati: 16, 4, 0, 4, 16. Somma = 40. Varianza = 40 ÷ 5 = 8. SD = √8 ≈ 2.83.
5. Per la tabella x: 2, 4, 6, 8 con f: 1, 3, 4, 2, trova lo scarto medio dalla media e la deviazione standard.
N = 10. Σfx = 2 + 12 + 24 + 16 = 54, quindi x̄ = 5.4. |x − 5.4|: 3.4, 1.4, 0.6, 2.6. f|x − 5.4|: 3.4, 4.2, 2.4, 5.2, somma 15.2, quindi S.M. = 1.52. Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324. σ² = 324 ÷ 10 − 5.4² = 32.4 − 29.16 = 3.24. σ = 1.8.
6. Le classi 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 hanno frequenze 2, 3, 5, 3, 2. Trova lo scarto medio dalla media, la varianza e la SD.
Valori centrali x: 5, 15, 25, 35, 45; N = 15. Σfx = 10 + 45 + 125 + 105 + 90 = 375, x̄ = 25. |x − 25|: 20, 10, 0, 10, 20; f per questi: 40, 30, 0, 30, 40 = 140; S.M. = 140 ÷ 15 ≈ 9.33. f(x − 25)²: 800, 300, 0, 300, 800 = 2200. σ² = 2200 ÷ 15 ≈ 146.67. σ ≈ 12.11.
7. Fai lo stesso con la stessa tabella (2, 3, 5, 3, 2 su 0–50) usando il metodo dello scarto ridotto.
Prendi A = 25, h = 10, u = (x − 25) ÷ 10: −2, −1, 0, 1, 2. fu: −4, −3, 0, 3, 4, Σfu = 0. fu²: 8, 3, 0, 3, 8, Σfu² = 22. σ² = 10² × [22 ÷ 15 − 0²] = 100 × 1.4667 ≈ 146.67. Stesso risultato con numeri più piccoli.
8. Le classi 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 hanno frequenze 4, 6, 8, 2. Trova lo scarto medio dalla mediana.
N = 20, N/2 = 10. Frequenze cumulate: 4, 10, 18, 20. La prima classe con cf maggiore di 10 è 20–30, quindi l = 20, cf = 10, f = 8, h = 10. Mediana = 20 + ((10 − 10) ÷ 8) × 10 = 20. Valori centrali 5, 15, 25, 35; |x − 20|: 15, 5, 5, 15; f per questi: 60, 30, 40, 30 = 160. S.M. = 160 ÷ 20 = 8.
9. Battitore A: media 50, SD 10. Battitore B: media 80, SD 12. Chi è più regolare?
C.V.(A) = 10 ÷ 50 × 100 = 20%. C.V.(B) = 12 ÷ 80 × 100 = 15%. B ha il C.V. più piccolo, quindi B è più regolare.
Errori comuni
- Sommare gli scarti semplici (x − x̄). Sommano sempre 0. Usa |x − x̄| per lo scarto medio o (x − x̄)² per la varianza.
- Dimenticare di moltiplicare per f nei dati raggruppati, o dividere per il numero di classi invece che per N = Σf.
- Dare la varianza quando la domanda chiede la deviazione standard. Fai la radice quadrata alla fine.
- Nel metodo dello scarto ridotto, dimenticare di moltiplicare per h² alla fine.