Palabras que necesitas primero
- Datos: una lista de números que hemos recogido, como notas de un examen.
- Media (x̄): suma todos los valores y divide entre cuántos son. Es el punto de equilibrio.
- Mediana (M): el valor del medio después de ordenar los datos.
- Desviación: cuánto se aleja un valor del centro, x − x̄. Puede ser negativa o positiva.
- Dispersión: separación. Una medida de dispersión es un número que dice cuán separados están los datos.
¿Para qué sirve? Dos listas pueden tener la misma media y ser muy distintas. La media sola no las distingue.
Rango
Rango = valor mayor − valor menor.
Es rápido. Pero solo mira dos números. Un valor muy grande o muy pequeño (un valor atípico) puede hacer enorme el rango aunque todos los demás estén juntos. Por eso necesitamos medidas mejores.
Desviación media para datos sin agrupar
Calcula la distancia de cada valor a un centro a (la media o la mediana). Distancia significa que ignoramos el signo menos: |x − a|.
D.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n
Pasos: (1) halla la media o la mediana, (2) escribe cada |x − a|, (3) súmalas, (4) divide entre n.
¿Por qué el valor absoluto? Las desviaciones normales x − x̄ siempre suman 0. Lo negativo y lo positivo se cancelan. Quitar los signos evita eso.
Dato: la desviación media respecto a la mediana es la desviación media más pequeña posible.
Desviación media para datos agrupados
Tabla de frecuencias discreta (valores x con frecuencias f, N = Σf): D.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N.
Clases continuas (como 0–10, 10–20): usa la marca de clase de cada intervalo como x y aplica la misma fórmula.
Para la mediana de una tabla continua: calcula N/2, busca la clase mediana con la frecuencia acumulada y usa Mediana = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h, donde l es el límite inferior, cf la frecuencia acumulada anterior a la clase, f su frecuencia y h la amplitud del intervalo.
Varianza y desviación típica para datos sin agrupar
Varianza σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n. Elevar al cuadrado quita los signos negativos y da más peso a las distancias grandes.
Desviación típica σ = √varianza. Vuelve a estar en la misma unidad que los datos (notas, cm, puntos).
Fórmula corta (útil cuando la media es decimal): σ² = Σx² ÷ n − (x̄)², o σ = (1/n)√(nΣx² − (Σx)²).
σ nunca es negativa. σ = 0 solo cuando todos los valores son iguales.
Varianza y desviación típica para datos agrupados
Discretos o continuos (usa las marcas de clase x): σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N, o la fórmula corta σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)².
Método del cambio de variable (ahorra trabajo con números grandes): elige una media supuesta A y la amplitud h, y define u = (x − A) ÷ h. Entonces
σ² = h² [ Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)² ] y x̄ = A + h × Σfu ÷ N.
Cambiar el origen (sumar un número a todos los valores) no cambia σ. Multiplicar todos los valores por k multiplica σ por |k|.
Comparar dos conjuntos de datos: coeficiente de variación
Cuando las medias son distintas, compara la dispersión con el C.V. = (σ ÷ x̄) × 100. El conjunto con menor C.V. es más regular (más estable).
Pruébalo: mide la dispersión de tu familia
Pregunta a 5 personas de tu casa cuántos minutos durmieron anoche (o usa 5 notas de examen). Escribe los números. Halla el rango, luego la media, luego la distancia de cada valor a la media y después los cuadrados. Calcula σ. Ahora escribe esos mismos 5 números con los deslizadores del último paso 3D y comprueba tu resultado. Luego aleja un deslizador mucho y mira cuánto salta σ.
Cómo se pregunta en el examen
La unidad de Estadística y Probabilidad vale 12 puntos en el examen CBSE de Class 11. Una pregunta larga típica pide la desviación media, o la varianza y la desviación típica, de una tabla agrupada. Muestra siempre la tabla con las columnas x, f, fx, d o u, fd², para no perder los puntos de los pasos.
Fórmulas y definiciones clave
- Rango = valor mayor − valor menor
- D.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n (a = media o mediana)
- Agrupados: D.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N
- Varianza σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n = Σx² ÷ n − x̄²
- Agrupados: σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N
- Cambio de variable: σ² = h²[Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²], u = (x − A) ÷ h
- Desviación típica σ = √varianza
- C.V. = (σ ÷ x̄) × 100
Ejemplos resueltos
1. Halla el rango de 12, 7, 19, 3, 15.
Mayor = 19, menor = 3. Rango = 19 − 3 = 16.
2. Halla la desviación media respecto a la media de 3, 5, 7, 9, 11.
Media = 35 ÷ 5 = 7. Distancias |x − 7|: 4, 2, 0, 2, 4. Suma = 12. D.M. = 12 ÷ 5 = 2.4.
3. Halla la desviación media respecto a la mediana de 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
Hay 8 valores ordenados, así que la mediana = (9 + 10) ÷ 2 = 9.5. Distancias: 5.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 2.5, 3.5, 7.5. Suma = 24. D.M. = 24 ÷ 8 = 3.
4. Halla la varianza y la desviación típica de 6, 8, 10, 12, 14.
Media = 50 ÷ 5 = 10. Desviaciones: −4, −2, 0, 2, 4. Cuadrados: 16, 4, 0, 4, 16. Suma = 40. Varianza = 40 ÷ 5 = 8. Desviación típica = √8 ≈ 2.83.
5. Para la tabla x: 2, 4, 6, 8 con f: 1, 3, 4, 2, halla la desviación media respecto a la media y la desviación típica.
N = 10. Σfx = 2 + 12 + 24 + 16 = 54, así que x̄ = 5.4. |x − 5.4|: 3.4, 1.4, 0.6, 2.6. f|x − 5.4|: 3.4, 4.2, 2.4, 5.2, suma 15.2, así que D.M. = 1.52. Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324. σ² = 324 ÷ 10 − 5.4² = 32.4 − 29.16 = 3.24. σ = 1.8.
6. Las clases 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 tienen frecuencias 2, 3, 5, 3, 2. Halla la desviación media respecto a la media, la varianza y la desviación típica.
Marcas de clase x: 5, 15, 25, 35, 45; N = 15. Σfx = 10 + 45 + 125 + 105 + 90 = 375, x̄ = 25. |x − 25|: 20, 10, 0, 10, 20; f por eso: 40, 30, 0, 30, 40 = 140; D.M. = 140 ÷ 15 ≈ 9.33. f(x − 25)²: 800, 300, 0, 300, 800 = 2200. σ² = 2200 ÷ 15 ≈ 146.67. σ ≈ 12.11.
7. Haz la misma tabla (2, 3, 5, 3, 2 sobre 0–50) con el método del cambio de variable.
Toma A = 25, h = 10, u = (x − 25) ÷ 10: −2, −1, 0, 1, 2. fu: −4, −3, 0, 3, 4, Σfu = 0. fu²: 8, 3, 0, 3, 8, Σfu² = 22. σ² = 10² × [22 ÷ 15 − 0²] = 100 × 1.4667 ≈ 146.67. Mismo resultado con números más pequeños.
8. Las clases 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 tienen frecuencias 4, 6, 8, 2. Halla la desviación media respecto a la mediana.
N = 20, N/2 = 10. Frecuencias acumuladas: 4, 10, 18, 20. La primera clase cuya cf es mayor que 10 es 20–30, así que l = 20, cf = 10, f = 8, h = 10. Mediana = 20 + ((10 − 10) ÷ 8) × 10 = 20. Marcas de clase 5, 15, 25, 35; |x − 20|: 15, 5, 5, 15; f por eso: 60, 30, 40, 30 = 160. D.M. = 160 ÷ 20 = 8.
9. Bateador A: media 50, desviación típica 10. Bateador B: media 80, desviación típica 12. ¿Quién es más regular?
C.V.(A) = 10 ÷ 50 × 100 = 20%. C.V.(B) = 12 ÷ 80 × 100 = 15%. B tiene el C.V. menor, así que B es más regular.
Errores comunes
- Sumar las desviaciones normales (x − x̄). Siempre suman 0. Usa |x − x̄| para la desviación media o (x − x̄)² para la varianza.
- Olvidar multiplicar por f en datos agrupados, o dividir entre el número de clases en vez de entre N = Σf.
- Dar la varianza cuando la pregunta pide la desviación típica. Saca la raíz cuadrada al final.
- En el método del cambio de variable, olvidar multiplicar por h² al final.