Begriffe, die du zuerst brauchst
- Daten: eine Liste von Zahlen, die wir gesammelt haben, zum Beispiel Testpunkte.
- Mittelwert (x̄): alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Er ist der Balancepunkt.
- Median (M): der mittlere Wert, nachdem man die Werte der Größe nach geordnet hat.
- Abweichung: wie weit ein Wert vom Zentrum entfernt ist, x − x̄. Sie kann negativ oder positiv sein.
- Streuung: die Ausbreitung der Daten. Ein Streuungsmaß ist eine einzige Zahl, die sagt, wie weit die Daten auseinanderliegen.
Warum brauchen wir das? Zwei Listen können denselben Mittelwert haben und trotzdem ganz verschieden aussehen. Der Mittelwert allein kann sie nicht unterscheiden.
Spannweite
Spannweite = größter Wert − kleinster Wert.
Sie ist schnell berechnet. Aber sie betrachtet nur zwei Zahlen. Ein einziger sehr großer oder sehr kleiner Wert (ein Ausreißer) kann die Spannweite riesig machen, auch wenn alle anderen Werte dicht beieinander liegen. Wir brauchen also bessere Maße.
Mittlere Abweichung bei Einzeldaten
Bestimme den Abstand jedes Wertes von einem Zentrum a (dem Mittelwert oder dem Median). Abstand heißt: Wir ignorieren das Minuszeichen: |x − a|.
M.A.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n
Schritte: (1) Mittelwert oder Median finden, (2) jedes |x − a| aufschreiben, (3) alle addieren, (4) durch n teilen.
Warum der Betrag? Die einfachen Abweichungen x − x̄ ergeben zusammen immer 0. Minus und Plus heben sich auf. Ohne Vorzeichen passiert das nicht.
Tatsache: Die mittlere Abweichung um den Median ist die kleinstmögliche mittlere Abweichung.
Mittlere Abweichung bei gruppierten Daten
Diskrete Häufigkeitstabelle (Werte x mit Häufigkeiten f, N = Σf): M.A.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N.
Stetige Klassen (wie 0–10, 10–20): Nimm als x den Mittelwert jeder Klasse und wende dieselbe Formel an.
Median einer stetigen Tabelle: Berechne N/2, finde die Medianklasse mit der kumulierten Häufigkeit, dann gilt Median = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h. Dabei ist l die untere Grenze, cf die kumulierte Häufigkeit vor der Klasse, f ihre Häufigkeit und h die Klassenbreite.
Varianz und Standardabweichung bei Einzeldaten
Varianz σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n. Das Quadrieren entfernt Minuszeichen und gibt großen Abständen mehr Gewicht.
Standardabweichung σ = √Varianz. Sie hat wieder dieselbe Einheit wie die Daten (Punkte, cm, Läufe).
Kurzformel (nützlich, wenn der Mittelwert eine Dezimalzahl ist): σ² = Σx² ÷ n − (x̄)², oder σ = (1/n)√(nΣx² − (Σx)²).
σ ist nie negativ. σ = 0 gilt nur, wenn alle Werte gleich sind.
Varianz und Standardabweichung bei gruppierten Daten
Diskret oder stetig (mit Klassenmitten x): σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N, oder die Kurzformel σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)².
Schrittabweichungsmethode (spart Arbeit bei großen Zahlen): Wähle einen angenommenen Mittelwert A und die Klassenbreite h, setze u = (x − A) ÷ h. Dann gilt
σ² = h² [ Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)² ] und x̄ = A + h × Σfu ÷ N.
Eine Verschiebung des Ursprungs (zu jedem Wert dieselbe Zahl addieren) ändert σ nicht. Wenn man jeden Wert mit k multipliziert, wird σ mit |k| multipliziert.
Zwei Datensätze vergleichen: der Variationskoeffizient
Wenn die Mittelwerte verschieden sind, vergleicht man die Streuung mit dem V.K. = (σ ÷ x̄) × 100. Der Datensatz mit dem kleineren V.K. ist gleichmäßiger (stabiler).
Probier es aus: Miss die Streuung in deiner Familie
Frag 5 Personen zu Hause, wie viele Minuten sie letzte Nacht geschlafen haben (oder nimm 5 Testergebnisse). Schreib die Zahlen auf. Finde die Spannweite, dann den Mittelwert, dann jeden Abstand zum Mittelwert, dann die Quadrate. Berechne σ. Gib danach dieselben 5 Zahlen mit den Reglern im letzten 3D-Schritt ein und prüfe dein Ergebnis. Schiebe dann einen Regler weit weg und sieh, wie stark σ springt.
Prüfungsaufbau
Die Einheit Statistik und Wahrscheinlichkeit bringt in der CBSE Class 11 12 Punkte. Eine typische lange Aufgabe verlangt die mittlere Abweichung oder die Varianz und SD einer gruppierten Tabelle. Zeige die Tabelle immer mit den Spalten x, f, fx, d oder u, fd², damit die Teilpunkte sicher sind.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Spannweite = größter Wert − kleinster Wert
- M.A.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n (a = Mittelwert oder Median)
- Gruppiert: M.A.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N
- Varianz σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n = Σx² ÷ n − x̄²
- Gruppiert: σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N
- Schrittabweichung: σ² = h²[Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²], u = (x − A) ÷ h
- Standardabweichung σ = √Varianz
- V.K. = (σ ÷ x̄) × 100
Gelöste Beispiele
1. Finde die Spannweite von 12, 7, 19, 3, 15.
Größter Wert = 19, kleinster = 3. Spannweite = 19 − 3 = 16.
2. Finde die mittlere Abweichung um den Mittelwert für 3, 5, 7, 9, 11.
Mittelwert = 35 ÷ 5 = 7. Abstände |x − 7|: 4, 2, 0, 2, 4. Summe = 12. M.A. = 12 ÷ 5 = 2.4.
3. Finde die mittlere Abweichung um den Median für 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
8 Werte in Reihenfolge, also Median = (9 + 10) ÷ 2 = 9.5. Abstände: 5.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 2.5, 3.5, 7.5. Summe = 24. M.A. = 24 ÷ 8 = 3.
4. Finde Varianz und Standardabweichung von 6, 8, 10, 12, 14.
Mittelwert = 50 ÷ 5 = 10. Abweichungen: −4, −2, 0, 2, 4. Quadrate: 16, 4, 0, 4, 16. Summe = 40. Varianz = 40 ÷ 5 = 8. SD = √8 ≈ 2.83.
5. Für die Tabelle x: 2, 4, 6, 8 mit f: 1, 3, 4, 2 finde die mittlere Abweichung um den Mittelwert und die Standardabweichung.
N = 10. Σfx = 2 + 12 + 24 + 16 = 54, also x̄ = 5.4. |x − 5.4|: 3.4, 1.4, 0.6, 2.6. f|x − 5.4|: 3.4, 4.2, 2.4, 5.2, Summe 15.2, also M.A. = 1.52. Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324. σ² = 324 ÷ 10 − 5.4² = 32.4 − 29.16 = 3.24. σ = 1.8.
6. Die Klassen 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 haben die Häufigkeiten 2, 3, 5, 3, 2. Finde die mittlere Abweichung um den Mittelwert, die Varianz und die SD.
Klassenmitten x: 5, 15, 25, 35, 45; N = 15. Σfx = 10 + 45 + 125 + 105 + 90 = 375, x̄ = 25. |x − 25|: 20, 10, 0, 10, 20; f mal das: 40, 30, 0, 30, 40 = 140; M.A. = 140 ÷ 15 ≈ 9.33. f(x − 25)²: 800, 300, 0, 300, 800 = 2200. σ² = 2200 ÷ 15 ≈ 146.67. σ ≈ 12.11.
7. Rechne dieselbe Tabelle (2, 3, 5, 3, 2 über 0–50) mit der Schrittabweichungsmethode.
Nimm A = 25, h = 10, u = (x − 25) ÷ 10: −2, −1, 0, 1, 2. fu: −4, −3, 0, 3, 4, Σfu = 0. fu²: 8, 3, 0, 3, 8, Σfu² = 22. σ² = 10² × [22 ÷ 15 − 0²] = 100 × 1.4667 ≈ 146.67. Dasselbe Ergebnis mit kleineren Zahlen.
8. Die Klassen 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 haben die Häufigkeiten 4, 6, 8, 2. Finde die mittlere Abweichung um den Median.
N = 20, N/2 = 10. Kumulierte f: 4, 10, 18, 20. Die erste Klasse, deren cf größer als 10 ist, ist 20–30, also l = 20, cf = 10, f = 8, h = 10. Median = 20 + ((10 − 10) ÷ 8) × 10 = 20. Klassenmitten 5, 15, 25, 35; |x − 20|: 15, 5, 5, 15; f mal das: 60, 30, 40, 30 = 160. M.A. = 160 ÷ 20 = 8.
9. Schlagmann A: Mittelwert 50, SD 10. Schlagmann B: Mittelwert 80, SD 12. Wer ist gleichmäßiger?
V.K.(A) = 10 ÷ 50 × 100 = 20%. V.K.(B) = 12 ÷ 80 × 100 = 15%. B hat den kleineren V.K., also ist B gleichmäßiger.
Häufige Fehler
- Die einfachen Abweichungen (x − x̄) addieren. Sie ergeben immer 0. Nimm |x − x̄| für die mittlere Abweichung oder (x − x̄)² für die Varianz.
- Bei gruppierten Daten das Multiplizieren mit f vergessen, oder durch die Anzahl der Klassen statt durch N = Σf teilen.
- Die Varianz angeben, obwohl nach der Standardabweichung gefragt ist. Ziehe am Ende die Wurzel.
- Bei der Schrittabweichungsmethode am Ende das Multiplizieren mit h² vergessen.