Folgen und Reihen
Eine Folge ist eine Liste von Zahlen in fester Reihenfolge: a₁, a₂, a₃, …, wobei aₙ das n-te Glied (allgemeines Glied) ist. Sie ist endlich, wenn sie aufhört, und unendlich, wenn sie ewig weitergeht.
- Eine Folge kann durch eine Formel gegeben sein, zum Beispiel aₙ = n² + 1 → 2, 5, 10, 17, …
- Oder durch eine Regel, die Glieder verknüpft (Rekursion), zum Beispiel a₁ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + 2 → 1, 3, 5, 7, …
Eine Reihe ist die Summe der Glieder: a₁ + a₂ + a₃ + … Mit Sₙ bezeichnen wir die Summe der ersten n Glieder, und Σ (Sigma) ist die Kurzschreibweise dafür. Eine Folge, deren Glieder einer klaren Regel folgen, nennt man Progression.
Arithmetische Folge und arithmetisches Mittel (AM)
Zur Erinnerung aus Klasse 10: In einer AP ist jedes Glied das vorherige plus eine feste Differenz d. aₙ = a + (n − 1)d und Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] = n/2(a + l), wobei l das letzte Glied ist.
Das arithmetische Mittel zweier Zahlen a und b ist A = (a + b)/2. Dann bilden a, A, b eine AP.
n AM einfügen zwischen a und b: Wir brauchen insgesamt n + 2 Glieder, also b = a + (n + 1)d, und daraus folgt d = (b − a)/(n + 1). Die Mittel sind a + d, a + 2d, …, a + nd. Beispiel: 3 AM zwischen 4 und 16 → d = 3 → 7, 10, 13 (Schritt 2 im 3D).
Geometrische Folge: allgemeines Glied und Summe
Eine GP ist eine Folge, in der jedes Glied (nach dem ersten) das vorherige mal einer festen Zahl r ungleich null ist, dem Quotienten (gemeinsames Verhältnis). Also r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = …
- Allgemeines Glied: aₙ = a rⁿ⁻¹.
- Summe von n Gliedern: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) oder a(1 − rⁿ)/(1 − r), für r ≠ 1. Ist r = 1, dann Sₙ = na.
Warum die Summenformel stimmt: Sₙ = a + ar + … + arⁿ⁻¹. Mal r: rSₙ = ar + ar² + … + arⁿ. Subtrahiert: rSₙ − Sₙ = arⁿ − a, also Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1). Fast alle Glieder heben sich auf.
Tipp: Drei Zahlen in GP kann man als a/r, a, ar schreiben; ihr Produkt ist dann a³.
Unendliche GP und ihre Summe
Ist |r| < 1, kommt rⁿ immer näher an 0, wenn n wächst (zum Beispiel (1/2)¹⁰ ≈ 0.001). Darum nähert sich Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) dem Wert
S∞ = a/(1 − r).
Die Summe geht nie über diesen Wert hinaus; sie nähert sich ihm nur (Schritt 4 im 3D). Ist |r| ≥ 1, werden die Glieder nicht kleiner, und es gibt keine endliche Summe.
Anwendung: der periodische Dezimalbruch 0.333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3.
Geometrisches Mittel (GM)
Das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen a und b ist G = √(ab). Dann bilden a, G, b eine GP.
n GM einfügen zwischen a und b: b = a rⁿ⁺¹, also r = (b/a)^(1/(n+1)). Die Mittel sind ar, ar², …, arⁿ. Beispiel: 2 GM zwischen 3 und 81 → r³ = 27, r = 3 → 9, 27.
Zusammenhang zwischen AM und GM
Für positive Zahlen a und b mit A = (a + b)/2 und G = √(ab) gilt:
A − G = (a + b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0, also A ≥ G.
Ein Quadrat kann nie negativ sein, deshalb ist das AM immer mindestens so groß wie das GM. Gleich sind sie nur, wenn √a = √b, also a = b. Im 3D (Schritt 5) ist der grüne A-Balken höher als der violette G-Balken.
Anwendung: Kennt man AM und GM zweier Zahlen, sind die Zahlen die Lösungen von x² − 2Ax + G² = 0.
Schwerpunkte für die Prüfung
Das kommt oft dran: ein Glied oder die Anzahl der Glieder einer GP finden (2 Punkte), Summe von n Gliedern oder einer unendlichen GP (2–3 Punkte), AM oder GM einfügen (3 Punkte), Aufgaben mit A ≥ G oder Zahlen aus AM und GM bestimmen (3–4 Punkte) sowie Textaufgaben zu Wachstum oder springenden Bällen (4 Punkte).
Wichtige Formeln und Definitionen
- AP: aₙ = a + (n − 1)d, Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]
- AM: A = (a + b)/2; n AM: d = (b − a)/(n + 1)
- GP: aₙ = arⁿ⁻¹, Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1
- Unendliche GP, |r| < 1: S∞ = a/(1 − r)
- GM: G = √(ab); n GM: r = (b/a)^(1/(n+1))
- A ≥ G; A − G = (√a − √b)²/2
Gelöste Beispiele
1. Schreibe die ersten vier Glieder von aₙ = (n − 1)/(n + 1) auf und bestimme a₁₀.
a₁ = 0/2 = 0, a₂ = 1/3, a₃ = 2/4 = 1/2, a₄ = 3/5. a₁₀ = 9/11.
2. Füge 4 arithmetische Mittel zwischen 3 und 23 ein.
n = 4, also d = (23 − 3)/5 = 4. Die Mittel sind 7, 11, 15, 19. Probe: 3, 7, 11, 15, 19, 23 ist eine AP.
3. Finde das 8. Glied der GP 5, 10, 20, …
a = 5, r = 10/5 = 2. a₈ = 5 × 2⁷ = 5 × 128 = 640.
4. Das wievielte Glied der GP 2, 2√2, 4, … ist 128?
a = 2, r = √2. 2(√2)ⁿ⁻¹ = 128 → (√2)ⁿ⁻¹ = 64 = (√2)¹². Also n − 1 = 12, n = 13. Es ist das 13. Glied.
5. Finde die Summe der ersten 6 Glieder von 1, 3, 9, …
a = 1, r = 3. S₆ = 1(3⁶ − 1)/(3 − 1) = (729 − 1)/2 = 364.
6. Finde die Summe der unendlichen Reihe 6 + 2 + 2/3 + …
a = 6, r = 1/3, und |r| < 1. S∞ = 6/(1 − 1/3) = 6/(2/3) = 9.
7. Füge 2 geometrische Mittel zwischen 4 und 108 ein.
108 = 4r³ → r³ = 27 → r = 3. Die GM: 4 × 3 = 12 und 12 × 3 = 36. Also 4, 12, 36, 108.
8. AM und GM zweier positiver Zahlen sind 10 und 8. Finde die Zahlen.
a + b = 20 und ab = 64. Sie sind die Lösungen von x² − 20x + 64 = 0 = (x − 4)(x − 16). Die Zahlen sind 4 und 16. Probe A ≥ G: 10 ≥ 8.
9. Ein Ball fällt aus 10 m Höhe. Bei jedem Aufprall springt er auf die Hälfte der vorigen Höhe zurück. Finde den gesamten zurückgelegten Weg.
10 nach unten, dann jeweils hoch und runter 5, 2.5, … (jeweils zweimal). Gesamt = 10 + 2(5 + 2.5 + 1.25 + …) = 10 + 2 × 5/(1 − 1/2) = 10 + 20 = 30 m.
Häufige Fehler
- aₙ = arⁿ statt arⁿ⁻¹ benutzen. Das erste Glied ist a = ar⁰.
- S∞ = a/(1 − r) benutzen, obwohl |r| ≥ 1 ist. Die Formel gilt nur für |r| < 1.
- d für n AM als (b − a)/n berechnen. Es gibt n + 1 Abstände, also d = (b − a)/(n + 1).
- Das GM aus einer negativen und einer positiven Zahl bilden. Das GM ist hier nur für positive Zahlen definiert.