Was ist eine Folge?
Eine Folge ist eine Liste von Zahlen in fester Reihenfolge. Jede Zahl heißt Glied. Wir schreiben die Glieder als t₁, t₂, t₃ … (sprich "t eins, t zwei"). Die kleine Zahl ist die Position.
Beispiele: 2, 4, 6, 8 … (gerade Zahlen), 1, 4, 9, 16 … (Quadratzahlen), 1, 1, 2, 3, 5, 8 … (jedes Glied ist die Summe der zwei davor).
Explizite und rekursive Regel
Es gibt zwei Wege, die Regel einer Folge aufzuschreiben.
- Rekursive Regel: Nenne das erste Glied und dann, wie man aus dem Glied davor das nächste bekommt. Für 3, 5, 7, 9 …: t₁ = 3 und tₙ = tₙ₋₁ + 2. ("Rekursiv" heißt "zurückgehend": Man schaut auf das letzte Glied zurück.)
- Explizite Regel: eine Formel, die jedes Glied direkt aus seiner Position n liefert. Für 3, 5, 7, 9 …: tₙ = 2n + 1. So ist t₁₀₀ = 201 sofort.
Eine rekursive Regel ist leicht zu verstehen. Eine explizite Regel ist schnell für weit entfernte Glieder. In Schritt 1 des 3D zeigt die Anzeige beide Regeln für dieselben Türme.
Arithmetische Folge (AP) und ihr n-tes Glied
Eine arithmetische Folge (AP) ist eine Folge, bei der wir jedes Mal dieselbe Zahl addieren. Diese Zahl heißt Differenz d. Das erste Glied ist a.
Um von Glied 1 zu Glied n zu kommen, addieren wir d genau (n − 1)-mal. Also gilt
aₙ = a + (n − 1)d
Beispiel: 3, 5, 7, … hat a = 3, d = 2. Das 20. Glied = 3 + 19 × 2 = 41. d kann negativ sein: 10, 7, 4, 1 … hat d = −3. Sieh dir Schritt 2 im 3D an: Blaue Blöcke sind a, jedes orange Band ist ein d.
Summe der ersten n natürlichen Zahlen
Was ist 1 + 2 + 3 + … + n? Schreibe die Summe vorwärts und rückwärts und addiere:
S = 1 + 2 + … + n
S = n + (n − 1) + … + 1
2S = (n + 1) + (n + 1) + … (n-mal) = n(n + 1)
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
Das 3D (Schritt 3) zeigt dieselbe Idee mit Blöcken: Eine Treppe plus ihre umgedrehte Kopie ergibt ein Rechteck n mal (n + 1). Also ist 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.
Geometrische Folge (GP) und ihr n-tes Glied
Eine geometrische Folge (GP) ist eine Folge, bei der wir jedes Mal mit derselben Zahl multiplizieren. Diese Zahl heißt Quotient r. Man findet sie durch Teilen: r = t₂ ÷ t₁.
Um zu Glied n zu kommen, multiplizieren wir genau (n − 1)-mal mit r. Also gilt
aₙ = a × rⁿ⁻¹
Beispiele: 1, 2, 4, 8 … (r = 2). 5, 15, 45 … (r = 3). 64, 32, 16 … (r = 1/2, sie wird kleiner). Eine GP mit r größer als 1 wächst sehr schnell. Schritt 4 des 3D zeigt sich verdoppelnde Türme.
Fraktale: Muster in Mustern
Ein Fraktal ist eine Form, bei der jeder kleine Teil aussieht wie das ganze Bild. Starte mit einem Dreieck. Verbinde die Mitten seiner Seiten und entferne das mittlere Stück. Jetzt hast du 3 kleinere Dreiecke. Mit jedem davon machst du dasselbe, immer wieder. Das nennt man das Sierpinski-Dreieck.
Anzahl der Dreiecke: 1, 3, 9, 27, … eine GP mit r = 3. In Stufe n gibt es 3ⁿ Dreiecke. Die Seitenlänge jedes Dreiecks halbiert sich in jeder Stufe: 1, 1/2, 1/4 … eine weitere GP mit r = 1/2. Schritt 5 des 3D baut die Stufen 0 bis 3.
Türme von Hanoi
Es gibt 3 Stäbe. Scheiben verschiedener Größe liegen auf dem ersten Stab, die größte unten. Ziel: alle auf den letzten Stab bringen. Regeln: immer nur eine Scheibe bewegen, und nie eine größere Scheibe auf eine kleinere legen.
Warum eine rekursive Regel entsteht: Um n Scheiben zu bewegen, bringst du zuerst die oberen (n − 1) Scheiben aus dem Weg, bewegst dann die größte Scheibe einmal und legst die (n − 1) Scheiben wieder obendrauf. Also Hₙ = 2Hₙ₋₁ + 1, mit H₁ = 1. Das ergibt 1, 3, 7, 15, 31 …
Jedes Glied ist um eins kleiner als eine Zweierpotenz, also ist die explizite Regel Hₙ = 2ⁿ − 1. 3 Scheiben: 7 Züge. 10 Scheiben: 1023 Züge.
Probier es aus: Türme von Hanoi mit Münzen
Nimm 3 Münzen verschiedener Größe (₹1, ₹2, ₹5) und male 3 Kreise auf Papier. Stapele die Münzen auf den ersten Kreis, die größte unten. Bringe sie nach den Regeln auf den dritten Kreis. Zähle deine Züge. Schaffst du es in 7? Nimm jetzt eine vierte Münze dazu und sage das Ergebnis voraus, bevor du es probierst (Tipp: verdoppeln und eins dazu). Prüfe es dann mit dem Scheiben-Regler im letzten Schritt des 3D.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Rekursive Regel: gib t₁ an und wie tₙ aus tₙ₋₁ entsteht
- Explizite Regel: eine Formel für tₙ in Abhängigkeit von n
- AP: aₙ = a + (n − 1)d, d = a₂ − a₁
- 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
- GP: aₙ = a × rⁿ⁻¹, r = a₂ ÷ a₁
- Sierpinski-Dreieck: 3ⁿ Dreiecke in Stufe n
- Türme von Hanoi: Hₙ = 2Hₙ₋₁ + 1 = 2ⁿ − 1 Züge
Gelöste Beispiele
1. Schreibe die ersten vier Glieder der Folge mit t₁ = 4 und tₙ = tₙ₋₁ + 5 auf.
t₁ = 4. t₂ = 4 + 5 = 9. t₃ = 9 + 5 = 14. t₄ = 14 + 5 = 19. Also 4, 9, 14, 19.
2. Finde die explizite Regel für 4, 9, 14, 19, … und berechne damit t₅₀.
Sie steigt jedes Mal um 5, also tₙ = 5n + etwas. Für n = 1: 5 + ? = 4, also ? = −1. tₙ = 5n − 1. Probe t₂ = 9 ✓. t₅₀ = 250 − 1 = 249.
3. Finde das 15. Glied der AP 7, 11, 15, …
a = 7, d = 11 − 7 = 4. a₁₅ = 7 + (15 − 1) × 4 = 7 + 56 = 63.
4. Berechne 1 + 2 + 3 + … + 50.
n = 50. Summe = 50 × 51 ÷ 2 = 2550 ÷ 2 = 1275.
5. Finde das 6. Glied der GP 3, 6, 12, …
a = 3, r = 6 ÷ 3 = 2. a₆ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
6. Wie viele kleine Dreiecke hat das Sierpinski-Dreieck in Stufe 5?
Die Anzahlen sind 1, 3, 9, … also hat Stufe n genau 3ⁿ. Stufe 5: 3⁵ = 243 Dreiecke.
7. Wie viele Züge braucht man für die Türme von Hanoi mit 6 Scheiben? Prüfe mit der rekursiven Regel.
Explizit: 2⁶ − 1 = 64 − 1 = 63. Rekursiv: H₁ = 1, H₂ = 3, H₃ = 7, H₄ = 15, H₅ = 31, H₆ = 2 × 31 + 1 = 63 ✓.
Häufige Fehler
- n statt (n − 1) in aₙ = a + (n − 1)d oder aₙ = a × rⁿ⁻¹ benutzen. Das erste Glied zählt schon als ein Schritt.
- d falsch herum berechnen (a₁ − a₂). Rechne immer späteres Glied minus früheres Glied.
- Eine Folge AP nennen, nur weil sie wächst. Prüfe die Differenzen: 1, 2, 4, 8 hat die Differenzen 1, 2, 4, ist also eine GP und keine AP.
- Denken, dass die Türme von Hanoi 2ⁿ Züge brauchen. Es sind 2ⁿ − 1: Bei 1 Scheibe ist es 1 Zug, nicht 2.