¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es una lista de números en un orden fijo. Cada número se llama término. Escribimos los términos como t₁, t₂, t₃ … (se lee "t sub uno, t sub dos"). El número pequeño es la posición.
Ejemplos: 2, 4, 6, 8 … (números pares), 1, 4, 9, 16 … (cuadrados), 1, 1, 2, 3, 5, 8 … (cada término es la suma de los dos anteriores).
Reglas explícita y recursiva
Hay dos formas de escribir la regla de una sucesión.
- Regla recursiva: se da el primer término y cómo sacar el siguiente a partir del anterior. Para 3, 5, 7, 9 …: t₁ = 3 y tₙ = tₙ₋₁ + 2. ("Recursiva" significa que "vuelve atrás": miras el último término.)
- Regla explícita: una fórmula que da cualquier término directamente a partir de su posición n. Para 3, 5, 7, 9 …: tₙ = 2n + 1. Así, t₁₀₀ = 201 de golpe.
La regla recursiva es fácil de entender. La regla explícita es rápida para términos lejanos. En el paso 1 del 3D, el panel muestra las dos reglas para las mismas torres.
Progresión aritmética (PA) y su término n
Una progresión aritmética (PA) es una sucesión en la que sumamos siempre el mismo número. Ese número es la diferencia común d. El primer término es a.
Para llegar del término 1 al término n, sumamos d un total de (n − 1) veces. Por tanto
aₙ = a + (n − 1)d
Ejemplo: 3, 5, 7, … tiene a = 3, d = 2. El término 20 = 3 + 19 × 2 = 41. d puede ser negativa: 10, 7, 4, 1 … tiene d = −3. Mira el paso 2 del 3D: los bloques azules son a y cada banda naranja es una d.
Suma de los primeros n números naturales
¿Cuánto es 1 + 2 + 3 + … + n? Escribe la suma al derecho y al revés, y súmalas:
S = 1 + 2 + … + n
S = n + (n − 1) + … + 1
2S = (n + 1) + (n + 1) + … (n veces) = n(n + 1)
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
El 3D (paso 3) muestra la misma idea con bloques: una escalera más su copia boca abajo forma un rectángulo de n por (n + 1). Así, 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.
Progresión geométrica (PG) y su término n
Una progresión geométrica (PG) es una sucesión en la que multiplicamos siempre por el mismo número. Ese número es la razón común r. Se encuentra dividiendo: r = t₂ ÷ t₁.
Para llegar al término n, multiplicamos por r un total de (n − 1) veces. Por tanto
aₙ = a × rⁿ⁻¹
Ejemplos: 1, 2, 4, 8 … (r = 2). 5, 15, 45 … (r = 3). 64, 32, 16 … (r = 1/2, va decreciendo). Una PG con r mayor que 1 crece muy deprisa. El paso 4 del 3D muestra torres que se duplican.
Fractales: patrones dentro de patrones
Un fractal es una figura en la que cada parte pequeña se parece a la figura entera. Empieza con un triángulo. Une los puntos medios de sus lados y quita la pieza del centro. Ahora tienes 3 triángulos más pequeños. Haz lo mismo con cada uno de ellos, una y otra vez. Esto se llama el triángulo de Sierpinski.
Número de triángulos: 1, 3, 9, 27, … una PG con r = 3. En la etapa n hay 3ⁿ triángulos. El lado de cada triángulo se reduce a la mitad en cada etapa: 1, 1/2, 1/4 … otra PG con r = 1/2. El paso 5 del 3D construye las etapas 0 a 3.
Torres de Hanói
Hay 3 postes. Discos de distintos tamaños están en el primer poste, el más grande abajo. Objetivo: llevarlos todos al último poste. Reglas: mueve un disco cada vez y nunca pongas un disco grande sobre uno pequeño.
Por qué aparece una regla recursiva: para mover n discos, primero apartas los (n − 1) discos de arriba, luego mueves el disco más grande una vez, y después vuelves a poner encima los (n − 1) discos. Así, Hₙ = 2Hₙ₋₁ + 1, con H₁ = 1. Sale 1, 3, 7, 15, 31 …
Cada término es una unidad menos que una potencia de 2, así que la regla explícita es Hₙ = 2ⁿ − 1. 3 discos: 7 movimientos. 10 discos: 1023 movimientos.
Pruébalo: Torres de Hanói con monedas
Coge 3 monedas de distinto tamaño (₹1, ₹2, ₹5) y dibuja 3 círculos en un papel. Apila las monedas en el primer círculo, la más grande abajo. Llévalas al tercer círculo siguiendo las reglas. Cuenta tus movimientos. ¿Puedes hacerlo en 7? Ahora añade una cuarta moneda y predice la respuesta antes de probar (pista: dobla y suma uno). Luego compruébalo con el control de discos en el último paso del 3D.
Fórmulas y definiciones clave
- Regla recursiva: da t₁ y cómo se obtiene tₙ a partir de tₙ₋₁
- Regla explícita: una fórmula para tₙ en función de n
- PA: aₙ = a + (n − 1)d, d = a₂ − a₁
- 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
- PG: aₙ = a × rⁿ⁻¹, r = a₂ ÷ a₁
- Triángulo de Sierpinski: 3ⁿ triángulos en la etapa n
- Torres de Hanói: Hₙ = 2Hₙ₋₁ + 1 = 2ⁿ − 1 movimientos
Ejemplos resueltos
1. Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión con t₁ = 4 y tₙ = tₙ₋₁ + 5.
t₁ = 4. t₂ = 4 + 5 = 9. t₃ = 9 + 5 = 14. t₄ = 14 + 5 = 19. Es decir, 4, 9, 14, 19.
2. Halla la regla explícita de 4, 9, 14, 19, … y úsala para hallar t₅₀.
Sube 5 cada vez, así que tₙ = 5n + algo. Para n = 1: 5 + ? = 4, luego ? = −1. tₙ = 5n − 1. Comprobamos t₂ = 9 ✓. t₅₀ = 250 − 1 = 249.
3. Halla el término 15 de la PA 7, 11, 15, …
a = 7, d = 11 − 7 = 4. a₁₅ = 7 + (15 − 1) × 4 = 7 + 56 = 63.
4. Halla 1 + 2 + 3 + … + 50.
n = 50. Suma = 50 × 51 ÷ 2 = 2550 ÷ 2 = 1275.
5. Halla el término 6 de la PG 3, 6, 12, …
a = 3, r = 6 ÷ 3 = 2. a₆ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
6. En el triángulo de Sierpinski, ¿cuántos triángulos pequeños hay en la etapa 5?
Las cantidades son 1, 3, 9, … así que la etapa n tiene 3ⁿ. Etapa 5: 3⁵ = 243 triángulos.
7. ¿Cuántos movimientos hacen falta en las Torres de Hanói con 6 discos? Compruébalo con la regla recursiva.
Explícita: 2⁶ − 1 = 64 − 1 = 63. Recursiva: H₁ = 1, H₂ = 3, H₃ = 7, H₄ = 15, H₅ = 31, H₆ = 2 × 31 + 1 = 63 ✓.
Errores comunes
- Usar n en lugar de (n − 1) en aₙ = a + (n − 1)d o en aₙ = a × rⁿ⁻¹. El primer término ya cuenta como un paso.
- Hallar d restando al revés (a₁ − a₂). Haz siempre término posterior menos término anterior.
- Llamar PA a una sucesión solo porque crece. Mira las diferencias: 1, 2, 4, 8 tiene diferencias 1, 2, 4, así que es una PG, no una PA.
- Pensar que las Torres de Hanói necesitan 2ⁿ movimientos. Son 2ⁿ − 1: con 1 disco es 1 movimiento, no 2.