Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite est une liste de nombres rangés dans un ordre précis. Chaque nombre s'appelle un terme. On écrit les termes t₁, t₂, t₃ … (on lit « t un, t deux »). Le petit nombre indique la position.
Exemples : 2, 4, 6, 8 … (les nombres pairs), 1, 4, 9, 16 … (les carrés), 1, 1, 2, 3, 5, 8 … (chaque terme est la somme des deux précédents).
Règle explicite et règle récurrente
Il y a deux façons d'écrire la règle d'une suite.
- Règle récurrente : on donne le premier terme, puis la façon d'obtenir le terme suivant à partir du précédent. Pour 3, 5, 7, 9 … : t₁ = 3 et tₙ = tₙ₋₁ + 2. (« Récurrent » veut dire qu'on revient en arrière : on regarde le dernier terme.)
- Règle explicite : une formule qui donne n'importe quel terme directement à partir de sa position n. Pour 3, 5, 7, 9 … : tₙ = 2n + 1. Donc t₁₀₀ = 201 tout de suite.
La règle récurrente est facile à comprendre. La règle explicite est rapide pour les termes très éloignés. À l'étape 1 de la 3D, l'affichage montre les deux règles pour les mêmes tours.
Suite arithmétique et son terme de rang n
Une suite arithmétique est une suite où l'on ajoute toujours le même nombre. Ce nombre est la raison d (ou différence commune). Le premier terme est a.
Pour aller du terme 1 au terme n, on ajoute d en tout (n − 1) fois. Donc
aₙ = a + (n − 1)d
Exemple : 3, 5, 7, … a pour a = 3 et d = 2. Le 20e terme = 3 + 19 × 2 = 41. d peut être négatif : 10, 7, 4, 1 … a d = −3. Regarde l'étape 2 de la 3D : les blocs bleus sont a, chaque bande orange est un d.
Somme des n premiers entiers naturels
Combien vaut 1 + 2 + 3 + … + n ? On écrit la somme dans un sens, puis dans l'autre, et on additionne :
S = 1 + 2 + … + n
S = n + (n − 1) + … + 1
2S = (n + 1) + (n + 1) + … (n fois) = n(n + 1)
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
La 3D (étape 3) montre la même idée avec des blocs : un escalier et sa copie à l'envers forment un rectangle de n sur (n + 1). Donc 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.
Suite géométrique et son terme de rang n
Une suite géométrique est une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre. Ce nombre est la raison r. On la trouve en divisant : r = t₂ ÷ t₁.
Pour aller au terme n, on multiplie par r en tout (n − 1) fois. Donc
aₙ = a × rⁿ⁻¹
Exemples : 1, 2, 4, 8 … (r = 2). 5, 15, 45 … (r = 3). 64, 32, 16 … (r = 1/2, elle diminue). Une suite géométrique avec r supérieur à 1 grandit très vite. L'étape 4 de la 3D montre des tours qui doublent.
Fractales : des motifs dans les motifs
Une fractale est une forme dont chaque petite partie ressemble à la forme entière. On part d'un triangle. On joint les milieux de ses côtés et on enlève le morceau du milieu. On obtient 3 triangles plus petits. On fait pareil pour chacun d'eux, encore et encore. C'est le triangle de Sierpinski.
Nombre de triangles : 1, 3, 9, 27, … une suite géométrique de raison r = 3. À l'étape n, il y a 3ⁿ triangles. Le côté de chaque triangle est divisé par 2 à chaque étape : 1, 1/2, 1/4 … une autre suite géométrique de raison r = 1/2. L'étape 5 de la 3D construit les étapes 0 à 3.
La tour de Hanoï
Il y a 3 piquets. Des disques de tailles différentes sont sur le premier piquet, le plus grand en bas. But : les déplacer tous sur le dernier piquet. Règles : on déplace un seul disque à la fois, et on ne pose jamais un grand disque sur un petit.
Pourquoi une règle récurrente apparaît : pour déplacer n disques, on déplace d'abord les (n − 1) disques du dessus pour les écarter, puis on déplace une fois le plus grand disque, puis on remet les (n − 1) disques par-dessus. Donc Hₙ = 2Hₙ₋₁ + 1, avec H₁ = 1. Cela donne 1, 3, 7, 15, 31 …
Chaque terme vaut une puissance de 2 moins un, donc la règle explicite est Hₙ = 2ⁿ − 1. 3 disques : 7 déplacements. 10 disques : 1023 déplacements.
À toi : la tour de Hanoï avec des pièces
Prends 3 pièces de tailles différentes (₹1, ₹2, ₹5) et dessine 3 cercles sur une feuille. Empile les pièces sur le premier cercle, la plus grande en bas. Déplace-les sur le troisième cercle en suivant les règles. Compte tes déplacements. Y arrives-tu en 7 ? Ajoute maintenant une quatrième pièce et prédis la réponse avant d'essayer (indice : double et ajoute un). Vérifie ensuite avec le curseur des disques à la dernière étape de la 3D.
Formules et définitions clés
- Règle récurrente : donner t₁ et comment tₙ vient de tₙ₋₁
- Règle explicite : une formule pour tₙ en fonction de n
- Suite arithmétique : aₙ = a + (n − 1)d, d = a₂ − a₁
- 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
- Suite géométrique : aₙ = a × rⁿ⁻¹, r = a₂ ÷ a₁
- Triangle de Sierpinski : 3ⁿ triangles à l'étape n
- Tour de Hanoï : Hₙ = 2Hₙ₋₁ + 1 = 2ⁿ − 1 déplacements
Exemples résolus
1. Écris les quatre premiers termes de la suite avec t₁ = 4 et tₙ = tₙ₋₁ + 5.
t₁ = 4. t₂ = 4 + 5 = 9. t₃ = 9 + 5 = 14. t₄ = 14 + 5 = 19. Donc 4, 9, 14, 19.
2. Trouve la règle explicite de 4, 9, 14, 19, … et utilise-la pour trouver t₅₀.
Elle augmente de 5 à chaque fois, donc tₙ = 5n + quelque chose. Pour n = 1 : 5 + ? = 4, donc ? = −1. tₙ = 5n − 1. Vérification : t₂ = 9 ✓. t₅₀ = 250 − 1 = 249.
3. Trouve le 15e terme de la suite arithmétique 7, 11, 15, …
a = 7, d = 11 − 7 = 4. a₁₅ = 7 + (15 − 1) × 4 = 7 + 56 = 63.
4. Calcule 1 + 2 + 3 + … + 50.
n = 50. Somme = 50 × 51 ÷ 2 = 2550 ÷ 2 = 1275.
5. Trouve le 6e terme de la suite géométrique 3, 6, 12, …
a = 3, r = 6 ÷ 3 = 2. a₆ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
6. Dans le triangle de Sierpinski, combien y a-t-il de petits triangles à l'étape 5 ?
Les nombres sont 1, 3, 9, … donc l'étape n a 3ⁿ triangles. Étape 5 : 3⁵ = 243 triangles.
7. Combien de déplacements faut-il pour la tour de Hanoï avec 6 disques ? Vérifie avec la règle récurrente.
Explicite : 2⁶ − 1 = 64 − 1 = 63. Récurrente : H₁ = 1, H₂ = 3, H₃ = 7, H₄ = 15, H₅ = 31, H₆ = 2 × 31 + 1 = 63 ✓.
Erreurs fréquentes
- Utiliser n au lieu de (n − 1) dans aₙ = a + (n − 1)d ou aₙ = a × rⁿ⁻¹. Le premier terme compte déjà pour une étape.
- Trouver d en soustrayant dans le mauvais sens (a₁ − a₂). Fais toujours le terme suivant moins le terme précédent.
- Dire qu'une suite est arithmétique juste parce qu'elle augmente. Vérifie les différences : 1, 2, 4, 8 a pour différences 1, 2, 4, donc c'est une suite géométrique, pas arithmétique.
- Croire que la tour de Hanoï demande 2ⁿ déplacements. C'est 2ⁿ − 1 : pour 1 disque, il faut 1 déplacement, pas 2.