Palabras que necesitas primero
- Experimento: una acción cuyo resultado no puedes saber antes de que ocurra (lanzar una moneda, tirar un dado).
- Resultado: una de las cosas que pueden pasar (cara; el número 4).
- Igual de probables: ningún resultado tiene más posibilidades que otro (una moneda justa, un dado justo).
- Suceso: un grupo de resultados que nos interesa («un número par» = {2, 4, 6}).
- Casos favorables: los resultados con los que el suceso ocurre.
Definición clásica de probabilidad
Si un experimento tiene n resultados igual de probables y m de ellos son favorables al suceso E, entonces
P(E) = m ÷ n = (número de casos favorables) ÷ (número de casos posibles)
También se llama probabilidad teórica (o regla de Laplace), porque la calculamos pensando, sin hacer el experimento.
Importante: solo funciona cuando los resultados son igual de probables. «Sale seis» y «no sale seis» son dos resultados, pero no son igual de probables, así que P(seis) no es 1/2.
Rango de la probabilidad: de 0 a 1
Como m nunca puede ser menor que 0 ni mayor que n, 0 ≤ P(E) ≤ 1.
- Suceso imposible: P = 0 (sacar 7 en un dado).
- Suceso seguro: P = 1 (sacar un número menor que 7 en un dado).
- Un suceso elemental tiene un solo resultado. Las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento suman 1.
Sucesos contrarios: P(E) + P(no E) = 1
El suceso «no E» (se escribe Ē) ocurre justo cuando E no ocurre. Juntos, E y no E cubren todos los resultados, sin repetir ninguno. Por eso
P(no E) = 1 − P(E)
Es un atajo: si P(lluvia) = 0.7, entonces P(no lluvia) = 0.3 sin contar nada.
Problemas sencillos con un solo suceso: monedas, dados, cartas, bolsas
Una moneda: 2 resultados (C, X).
Un dado: 6 resultados (1 a 6). Par: 2, 4, 6. Primo: 2, 3, 5. Impar: 1, 3, 5.
Una baraja de 52 cartas (la baraja francesa o de póker): 4 palos (picas ♠ y tréboles ♣ son negros; corazones ♥ y diamantes ♦ son rojos), con 13 cartas en cada palo: A, 2–10, J, Q, K. Así hay 26 cartas rojas y 26 negras, 4 ases, 4 reyes y 12 figuras (J, Q, K de cada palo).
Bolsa de bolas o boletos: cuenta cada color o número y usa bueno ÷ todo.
Método para cualquier problema: (1) lista o cuenta todos los resultados, (2) cuenta los favorables, (3) divide, (4) simplifica.
Cómo aparece en los exámenes
La probabilidad suele aparecer como una pregunta tipo test de 1 punto y un problema de 2 o 3 puntos. Las preguntas de cartas y de bolsas son las más comunes. Escribe siempre los casos posibles y los favorables antes de la fracción, y simplifica el resultado.
Pruébalo: predice y luego comprueba
Pon en una caja 3 papelitos rojos y 7 de otros colores. Predice P(rojo) = 3/10 = 0.3. Ahora saca un papelito, anota el color, devuélvelo y repite 30 veces. Divide tus rojos entre 30. ¿Se acerca a 0.3? En el 3D (último paso) pulsa «Sacar ×50» varias veces: cuantas más veces saques, más se acerca el experimento a la fórmula.
Comprueba lo que entendiste
1. ¿Cuál es P(sacar 7 en un dado)? (0, es imposible.)
2. Si P(E) = 0.25, ¿cuál es P(no E)? (0.75)
Fórmulas y definiciones clave
- P(E) = número de casos favorables ÷ número de casos posibles
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(suceso imposible) = 0, P(suceso seguro) = 1
- P(no E) = 1 − P(E)
- Suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales = 1
- Baraja: 52 cartas, 4 palos × 13, 26 rojas, 26 negras, 12 figuras, 4 ases
Ejemplos resueltos
1. Se lanza una moneda justa una vez. Halla P(cara).
Resultados: C, X → 2. Favorable: C → 1. P(cara) = 1/2.
2. Se tira un dado una vez. Halla la probabilidad de sacar un número primo.
Resultados 1–6 → 6. Primos: 2, 3, 5 → 3. P = 3/6 = 1/2.
3. Una bolsa tiene 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. Se saca una bola al azar. Halla P(roja) y P(no roja).
Total = 10. Rojas = 3. P(roja) = 3/10. P(no roja) = 1 − 3/10 = 7/10.
4. Se saca una carta de una baraja bien barajada de 52 cartas. Halla la probabilidad de obtener (a) un rey, (b) una figura roja.
(a) Reyes = 4, así que P = 4/52 = 1/13. (b) Figuras rojas = J, Q, K de corazones y de diamantes = 6, así que P = 6/52 = 3/26.
5. La probabilidad de que mañana llueva es 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva?
P(no lluvia) = 1 − 0.35 = 0.65.
6. En una caja hay boletos numerados del 1 al 40. Se saca uno. Halla la probabilidad de que el número sea (a) múltiplo de 6, (b) un cuadrado perfecto.
(a) Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 → 6. P = 6/40 = 3/20. (b) Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36 → 6. P = 6/40 = 3/20.
7. Una bolsa tiene algunas bolas rojas y 12 bolas azules. La probabilidad de sacar una bola roja es 1/4. ¿Cuántas bolas rojas hay?
Sea rojas = x. x ÷ (x + 12) = 1/4 → 4x = x + 12 → 3x = 12 → x = 4 bolas rojas.
8. ¿Cuál es la probabilidad de que un año bisiesto tenga 53 domingos?
Un año bisiesto tiene 366 días = 52 semanas + 2 días extra. Los 2 días extra pueden ser (dom, lun), (lun, mar), (mar, mié), (mié, jue), (jue, vie), (vie, sáb), (sáb, dom): 7 parejas igual de probables. Dos de ellas contienen el domingo. P = 2/7.
Errores comunes
- Contar colores en vez de bolas. 3 bolas rojas y 5 azules dan P(roja) = 3/8, no 1/2.
- Usar bueno ÷ todo cuando los resultados no son igual de probables («6 o no 6» no hace que P(6) = 1/2).
- Dar una respuesta mayor que 1 o negativa. Toda probabilidad está entre 0 y 1.
- Olvidar que las figuras son solo J, Q, K (12 cartas). El as no es una figura.