Die wichtigsten Begriffe
- Zufallsexperiment: eine Handlung, deren Ergebnis man vorher nicht sicher kennt (Münze werfen, würfeln).
- Ergebnis: ein mögliches Resultat (Kopf; die Zahl 4).
- Gleich wahrscheinlich: kein Ergebnis hat bessere Chancen als ein anderes (eine faire Münze, ein fairer Würfel).
- Ereignis: eine Gruppe von Ergebnissen, die uns interessiert ("eine gerade Zahl" = {2, 4, 6}).
- Günstige Ergebnisse: die Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt.
Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Hat ein Experiment n gleich wahrscheinliche Ergebnisse und sind m davon günstig für das Ereignis E, dann gilt
P(E) = m ÷ n = (Anzahl der günstigen Ergebnisse) ÷ (Anzahl aller Ergebnisse)
Man nennt das auch theoretische Wahrscheinlichkeit, weil wir sie durch Nachdenken finden und nicht durch Ausprobieren.
Wichtig: Das funktioniert nur, wenn die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. "Sechs oder nicht sechs" sind zwei Ergebnisse, aber nicht gleich wahrscheinlich, also ist P(Sechs) nicht 1/2.
Wertebereich der Wahrscheinlichkeit: von 0 bis 1
Weil m nie kleiner als 0 und nie größer als n sein kann, gilt 0 ≤ P(E) ≤ 1.
- Unmögliches Ereignis: P = 0 (eine 7 würfeln).
- Sicheres Ereignis: P = 1 (eine Zahl kleiner als 7 würfeln).
- Ein Elementarereignis hat nur ein Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse eines Experiments ergeben zusammen 1.
Gegenereignisse: P(E) + P(nicht E) = 1
Das Ereignis "nicht E" (geschrieben Ē) tritt genau dann ein, wenn E nicht eintritt. Zusammen decken E und nicht E alle Ergebnisse ab, ohne Überschneidung. Also gilt
P(nicht E) = 1 − P(E)
Das ist eine Abkürzung: Wenn P(Regen) = 0,7 ist, dann ist P(kein Regen) = 0,3, ganz ohne Zählen.
Einfache Aufgaben mit einem Ereignis: Münzen, Würfel, Karten, Beutel
Eine Münze: 2 Ergebnisse (K, Z).
Ein Würfel: 6 Ergebnisse (1 bis 6). Gerade: 2, 4, 6. Primzahl: 2, 3, 5. Ungerade: 1, 3, 5.
Ein Kartenspiel mit 52 Karten: 4 Farben (Pik ♠ und Kreuz ♣ sind schwarz; Herz ♥ und Karo ♦ sind rot), in jeder Farbe 13 Karten: Ass, 2–10, Bube, Dame, König. Das sind 26 rote und 26 schwarze Karten, 4 Asse, 4 Könige und 12 Bildkarten (Bube, Dame, König jeder Farbe).
Beutel mit Kugeln oder Losen: Zähle jede Farbe oder Nummer, dann rechne günstig ÷ alle.
Vorgehen bei jeder Aufgabe: (1) alle Ergebnisse auflisten oder zählen, (2) die günstigen zählen, (3) teilen, (4) kürzen.
So kommt es in der Prüfung dran
In der CBSE-Prüfung der Klasse 10 gibt Wahrscheinlichkeit meist eine 1-Punkt-Multiple-Choice-Frage und eine Frage mit 2 oder 3 Punkten (die Einheit Statistik und Wahrscheinlichkeit hat 11 Punkte). Aufgaben mit Karten und Beuteln sind am häufigsten. Schreibe immer zuerst die Anzahl aller und der günstigen Ergebnisse auf, dann den Bruch, und kürze das Ergebnis.
Probier es aus: erst vorhersagen, dann prüfen
Lege 3 rote und 7 andersfarbige Zettel in eine Schachtel. Sage voraus: P(rot) = 3/10 = 0,3. Ziehe nun einen Zettel, notiere die Farbe, lege ihn zurück und wiederhole das 30-mal. Teile die Zahl der roten Zettel durch 30. Liegt das Ergebnis nahe bei 0,3? Drücke im 3D (letzter Schritt) ein paarmal auf "Draw ×50": Je öfter du ziehst, desto näher kommt das Experiment der Formel.
Prüfe dein Verständnis
1. Wie groß ist P(eine 7 mit einem Würfel)? (0, unmöglich.)
2. Wenn P(E) = 0,25 ist, wie groß ist P(nicht E)? (0,75)
Wichtige Formeln und Definitionen
- P(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse ÷ Anzahl aller Ergebnisse
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(unmögliches Ereignis) = 0, P(sicheres Ereignis) = 1
- P(nicht E) = 1 − P(E)
- Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse = 1
- Kartenspiel: 52 Karten, 4 Farben × 13, 26 rot, 26 schwarz, 12 Bildkarten, 4 Asse
Gelöste Beispiele
1. Eine faire Münze wird einmal geworfen. Bestimme P(Kopf).
Ergebnisse: K, Z → 2. Günstig: K → 1. P(Kopf) = 1/2.
2. Ein Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln.
Ergebnisse 1–6 → 6. Primzahlen: 2, 3, 5 → 3. P = 3/6 = 1/2.
3. Ein Beutel hat 3 rote, 5 blaue und 2 grüne Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme P(rot) und P(nicht rot).
Insgesamt = 10. Rot = 3. P(rot) = 3/10. P(nicht rot) = 1 − 3/10 = 7/10.
4. Aus einem gut gemischten Spiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für (a) einen König, (b) eine rote Bildkarte.
(a) Könige = 4, also P = 4/52 = 1/13. (b) Rote Bildkarten = Bube, Dame, König von Herz und Karo = 6, also P = 6/52 = 3/26.
5. Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, beträgt 0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet?
P(kein Regen) = 1 − 0,35 = 0,65.
6. In einer Schachtel liegen Lose mit den Nummern 1 bis 40. Eines wird gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Nummer (a) ein Vielfaches von 6, (b) eine Quadratzahl ist.
(a) Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 → 6. P = 6/40 = 3/20. (b) Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36 → 6. P = 6/40 = 3/20.
7. Ein Beutel hat einige rote Kugeln und 12 blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ist 1/4. Wie viele rote Kugeln gibt es?
Rot = x. x ÷ (x + 12) = 1/4 → 4x = x + 12 → 3x = 12 → x = 4 rote Kugeln.
8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaltjahr 53 Sonntage hat?
Ein Schaltjahr hat 366 Tage = 52 Wochen + 2 Extratage. Die 2 Extratage können sein: (So, Mo), (Mo, Di), (Di, Mi), (Mi, Do), (Do, Fr), (Fr, Sa), (Sa, So): 7 gleich wahrscheinliche Paare. Zwei davon enthalten einen Sonntag. P = 2/7.
Häufige Fehler
- Farben zählen statt Kugeln. 3 rote und 5 blaue Kugeln ergeben P(rot) = 3/8, nicht 1/2.
- günstig ÷ alle benutzen, obwohl die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind ("6 oder nicht 6" macht P(6) nicht zu 1/2).
- Ein Ergebnis größer als 1 oder negativ angeben. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1.
- Vergessen, dass Bildkarten nur Bube, Dame und König sind (12 Karten). Das Ass ist keine Bildkarte.