Les mots à connaître d'abord
- Expérience aléatoire : une action dont on ne peut pas être sûr du résultat avant qu'elle ait lieu (lancer une pièce, lancer un dé).
- Issue : un résultat possible (face ; le nombre 4).
- Équiprobable : aucune issue n'a plus de chances qu'une autre (une pièce équilibrée, un dé équilibré).
- Événement : un groupe d'issues qui nous intéresse (« un nombre pair » = {2, 4, 6}).
- Issues favorables : les issues qui réalisent l'événement.
Définition classique de la probabilité
Si une expérience a n issues équiprobables et que m d'entre elles sont favorables à l'événement E, alors
P(E) = m ÷ n = (nombre d'issues favorables) ÷ (nombre total d'issues)
On l'appelle aussi probabilité théorique, car on la trouve en réfléchissant, sans faire l'expérience.
Important : cela ne marche que si les issues sont équiprobables. « Six ou pas six » font deux issues, mais elles n'ont pas la même chance, donc P(six) n'est pas 1/2.
Valeurs d'une probabilité : de 0 à 1
Comme m ne peut être ni inférieur à 0 ni supérieur à n, 0 ≤ P(E) ≤ 1.
- Événement impossible : P = 0 (obtenir 7 avec un dé).
- Événement certain : P = 1 (obtenir un nombre inférieur à 7 avec un dé).
- Un événement élémentaire n'a qu'une seule issue. Les probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience ont pour somme 1.
Événements contraires : P(E) + P(non E) = 1
L'événement « non E » (noté Ē) se réalise exactement quand E ne se réalise pas. Ensemble, E et non E couvrent toutes les issues, sans chevauchement. Donc
P(non E) = 1 − P(E)
C'est un raccourci : si P(pluie) = 0.7, alors P(pas de pluie) = 0.3 sans rien compter.
Problèmes simples sur un seul événement : pièces, dés, cartes, sacs
Une pièce : 2 issues (P, F).
Un dé : 6 issues (1 à 6). Pair : 2, 4, 6. Premier : 2, 3, 5. Impair : 1, 3, 5.
Un jeu de 52 cartes : 4 couleurs (pique ♠ et trèfle ♣ sont noires ; cœur ♥ et carreau ♦ sont rouges), 13 cartes dans chaque couleur : As, 2–10, Valet, Dame, Roi. Il y a donc 26 cartes rouges et 26 noires, 4 as, 4 rois et 12 figures (valet, dame, roi de chaque couleur).
Sac de boules ou de tickets : compte chaque couleur ou chaque numéro, puis utilise bonnes ÷ toutes.
Méthode pour chaque problème : (1) liste ou compte toutes les issues, (2) compte les issues favorables, (3) divise, (4) simplifie.
Ce qu'on demande à l'examen
Les probabilités donnent souvent une question à choix multiples d'1 point et une question de 2 ou 3 points à l'examen. Les questions sur les cartes et les sacs sont les plus fréquentes. Écris toujours le nombre total d'issues et le nombre d'issues favorables avant la fraction, et simplifie le résultat.
Essaie : prévois, puis vérifie
Mets 3 papiers rouges et 7 d'une autre couleur dans une boîte. Prévois P(rouge) = 3/10 = 0.3. Tire maintenant un papier, note la couleur, remets-le et recommence 30 fois. Divise ton nombre de rouges par 30. Est-ce proche de 0.3 ? Dans la 3D (dernière étape), appuie plusieurs fois sur « Tirer ×50 » : plus tu tires, plus l'expérience se rapproche de la formule.
Vérifie ta compréhension
1. Quelle est P(obtenir 7 avec un dé) ? (0, impossible.)
2. Si P(E) = 0.25, que vaut P(non E) ? (0.75)
Formules et définitions clés
- P(E) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(événement impossible) = 0, P(événement certain) = 1
- P(non E) = 1 − P(E)
- Somme des probabilités de tous les événements élémentaires = 1
- Jeu : 52 cartes, 4 couleurs × 13, 26 rouges, 26 noires, 12 figures, 4 as
Exemples résolus
1. On lance une fois une pièce équilibrée. Trouve P(face).
Issues : P, F → 2. Favorable : F → 1. P(face) = 1/2.
2. On lance une fois un dé. Trouve la probabilité d'obtenir un nombre premier.
Issues 1–6 → 6. Premiers : 2, 3, 5 → 3. P = 3/6 = 1/2.
3. Un sac contient 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes. On prend une boule au hasard. Trouve P(rouge) et P(non rouge).
Total = 10. Rouges = 3. P(rouge) = 3/10. P(non rouge) = 1 − 3/10 = 7/10.
4. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes bien mélangé. Trouve la probabilité d'obtenir (a) un roi, (b) une figure rouge.
(a) Rois = 4, donc P = 4/52 = 1/13. (b) Figures rouges = valet, dame, roi de cœur et de carreau = 6, donc P = 6/52 = 3/26.
5. La probabilité qu'il pleuve demain est 0.35. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?
P(pas de pluie) = 1 − 0.35 = 0.65.
6. Des tickets numérotés de 1 à 40 sont dans une boîte. On en tire un. Trouve la probabilité que le numéro soit (a) un multiple de 6, (b) un carré parfait.
(a) Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36 → 6. P = 6/40 = 3/20. (b) Carrés : 1, 4, 9, 16, 25, 36 → 6. P = 6/40 = 3/20.
7. Un sac contient des boules rouges et 12 boules bleues. La probabilité d'une boule rouge est 1/4. Combien y a-t-il de boules rouges ?
Soit x le nombre de rouges. x ÷ (x + 12) = 1/4 → 4x = x + 12 → 3x = 12 → x = 4 boules rouges.
8. Quelle est la probabilité qu'une année bissextile ait 53 dimanches ?
Une année bissextile a 366 jours = 52 semaines + 2 jours en plus. Ces 2 jours peuvent être (dim, lun), (lun, mar), (mar, mer), (mer, jeu), (jeu, ven), (ven, sam), (sam, dim) : 7 paires équiprobables. Deux d'entre elles contiennent dimanche. P = 2/7.
Erreurs fréquentes
- Compter les couleurs au lieu des boules. 3 boules rouges et 5 bleues donnent P(rouge) = 3/8, pas 1/2.
- Utiliser bonnes ÷ toutes quand les issues ne sont pas équiprobables (« 6 ou pas 6 » ne donne pas P(6) = 1/2).
- Donner une réponse supérieure à 1 ou négative. Toute probabilité est comprise entre 0 et 1.
- Oublier que les figures sont seulement valet, dame, roi (12 cartes). L'as n'est pas une figure.