¿Qué es la continuidad?
Una función f es continua en x = a cuando coinciden tres cosas:
- el límite por la izquierda (con valores un poco menores que a),
- el límite por la derecha (con valores un poco mayores que a),
- el valor real f(a).
En resumen: lim(x→a) f(x) = f(a). Si falta alguno o es distinto, la gráfica tiene una ruptura (un agujero o un salto) en a.
Los polinomios, sin x, cos x, eˣ y ln x (para x > 0) son continuos allí donde están definidos. La suma, la resta, el producto y el cociente (con denominador distinto de cero) de funciones continuas también son continuos.
Derivable implica continua, pero no al revés
Si una función tiene derivada en a, tiene que ser continua en a. Pero |x| es continua en 0 y aun así no tiene derivada allí: la gráfica tiene una punta, y la pendiente por la izquierda (−1) y por la derecha (+1) no coinciden.
La derivada y la regla de la cadena
La derivada f′(x) es la pendiente de la tangente en x: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Regla de la cadena (una función dentro de otra): si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Ejemplo: y = (3x + 1)⁵. Fuera: u⁵ → 5u⁴. Dentro: 3x + 1 → 3. Así, dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), para −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Por qué tan⁻¹x: llama y = tan⁻¹x, es decir, tan y = x. Deriva: sec²y · dy/dx = 1, luego dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Truco: un cambio inteligente como x = tan θ muchas veces convierte una expresión complicada en una sencilla antes de derivar.
Funciones implícitas
A veces x e y están mezcladas, como en x² + y² = 9 o x³ + y³ = 3xy. No hace falta despejar y. Deriva todos los términos respecto de x, y cada vez que derives algo con y, multiplica por dy/dx (regla de la cadena). Después agrupa los términos con dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Funciones exponenciales y logarítmicas
- d/dx (eˣ) = eˣ: su pendiente es igual a su altura.
- d/dx (ln x) = 1/x, para x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
Con la regla de la cadena: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
Derivación logarítmica
Úsala cuando el exponente tiene x (como xˣ o (sin x)^x), o para un producto o cociente largo.
- Toma ln en los dos lados: ln y = x ln x.
- Deriva: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Multiplica por y: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Funciones en forma paramétrica
A veces x e y dependen de una tercera variable t (un parámetro), como x = t², y = 2t. Entonces
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), siempre que dx/dt ≠ 0.
Para una circunferencia x = r cos t, y = r sin t: dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
Derivada de segundo orden
Deriva una vez más: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), que también se escribe f″(x) o y₂.
Dice cómo cambia la pendiente. Si f″ > 0: la pendiente crece y la gráfica se curva hacia arriba, como un cuenco. Si f″ < 0: se curva hacia abajo, como una gorra.
Ejemplo: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
En forma paramétrica: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). No basta con dividir d²y/dt² entre d²x/dt².
Fórmulas y definiciones clave
- Continuidad en a: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Regla de la cadena: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Paramétricas: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Segunda derivada: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Ejemplos resueltos
1. ¿Es continua en x = 1 la función f(x) = 2x + 3 para x ≤ 1 y f(x) = 6 − x para x > 1?
Límite por la izquierda: 2(1) + 3 = 5. Límite por la derecha: 6 − 1 = 5. Valor f(1) = 5. Los tres son iguales, así que f es continua en x = 1.
2. Halla k para que f(x) = kx² si x ≤ 2 y f(x) = 3 si x > 2 sea continua en x = 2.
Límite por la izquierda = valor = 4k. Límite por la derecha = 3. Para que sea continua, 4k = 3, luego k = 3/4.
3. Deriva y = sin(x² + 5).
Fuera sin u → cos u; dentro x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Deriva y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) para −1 < x < 1.
Haz x = tan θ. Entonces 2x/(1 − x²) = tan 2θ, así que y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Halla dy/dx si x² + xy + y² = 7.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Entonces dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), y resulta dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Deriva y = e^(3x) · ln x.
Regla del producto: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Deriva y = xˣ (x > 0).
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Si x = a cos t e y = a sin t, halla dy/dx y d²y/dx².
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, así que dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. Si y = 3e^(2x) + 2e^(−x), demuestra que y″ − y′ − 2y = 0.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Errores comunes
- Olvidar la derivada de lo de dentro en la regla de la cadena: d/dx sin(3x) es 3cos(3x), no cos(3x).
- En la derivación implícita, escribir d/dx(y²) = 2y en lugar de 2y·dy/dx.
- Pensar que toda función continua es derivable. |x| es continua en 0 pero tiene una punta, así que allí no hay derivada.
- En la segunda derivada paramétrica, dividir d²y/dt² entre d²x/dt². Lo correcto es derivar dy/dx respecto de t y dividir entre dx/dt.