¿Qué es un límite? (la idea intuitiva)
Imagina un punto que se mueve sobre una gráfica. Acercamos x cada vez más a un número a y miramos la altura f(x).
Si f(x) se acerca cada vez más a un único número L, escribimos lim(x→a) f(x) = L. Se lee «el límite de f(x) cuando x tiende a a es L».
Importante: al límite no le importa el valor en a. La función puede incluso tener un hueco ahí. Solo le importan los valores cercanos a a.
Límites por la izquierda y por la derecha
Si nos acercamos desde números menores (como 1.9, 1.99), obtenemos el límite por la izquierda, que se escribe x → a⁻. Si nos acercamos desde números mayores (2.1, 2.01), obtenemos el límite por la derecha, x → a⁺.
El límite existe solo cuando ambos son iguales. Si la gráfica da un salto, los dos lados son distintos y no hay límite.
Reglas (álgebra) de los límites
Si lim f(x) y lim g(x) existen cuando x → a, entonces:
- el límite de una suma = la suma de los límites
- el límite de una diferencia = la diferencia de los límites
- el límite de un producto = el producto de los límites
- el límite de un cociente = el cociente de los límites (el límite del denominador no debe ser 0)
- el límite de k·f(x) = k × el límite de f(x)
Estas reglas nos permiten dividir un límite difícil en piezas pequeñas y fáciles.
Límites de funciones polinómicas
Un polinomio no tiene huecos ni saltos. Por eso su límite es simplemente su valor.
Ejemplo: lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11.
Límites de funciones racionales
Una función racional es un polinomio dividido entre otro, p(x)/q(x).
- Si q(a) ≠ 0, solo sustituye x = a.
- Si obtienes 0/0, eso no es una respuesta. Significa que (x − a) es factor del numerador y del denominador. Factoriza, simplifica (x − a) y luego sustituye x = a.
Un resultado muy útil
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹. Por ejemplo, lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80.
Límites de funciones trigonométricas
sen x y cos x son funciones suaves, así que lim(x→a) sen x = sen a y lim(x→a) cos x = cos a.
Dos resultados estándar (x en radianes):
- lim(x→0) sen x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
¿Por qué es cierto el primero? En una circunferencia de radio 1, para un ángulo x pequeño, el arco (de longitud x) y la mitad de la cuerda (de longitud sen x) son casi iguales. Un argumento de acotación con áreas lo demuestra: cos x ≤ sen x / x ≤ 1, y los dos extremos tienden a 1.
Truco: haz que el ángulo y el denominador coincidan. lim sen 5x / x = 5 × lim (sen 5x)/(5x) = 5.
Límites de funciones exponenciales y logarítmicas
eˣ y ln x son suaves donde están definidas, así que en ellas podemos sustituir el valor (para ln x necesitamos x > 0).
Dos resultados estándar:
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Otra vez, haz coincidir lo de dentro con el denominador: lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3.
Cómo los límites llevan a las derivadas
Para hallar la pendiente de una curva en un punto necesitaríamos un intervalo de cero, y no se puede dividir entre cero. Así que tomamos un intervalo pequeño h y hacemos que h → 0. Ese límite es la derivada. La estudiarás en la próxima lección.
Pruébalo
Usa una calculadora en modo radianes. Calcula sen(0.1)/0.1, sen(0.01)/0.01 y sen(0.001)/0.001. Predice hacia dónde van los valores. Luego abre el juego libre 3D, elige sen x / x y haz h muy pequeño para comprobarlo.
Fórmulas y definiciones clave
- lim(x→a) f(x) = L cuando f(x) → L desde ambos lados
- El límite existe ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sen x / x = 1 (x en radianes)
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Ejemplos resueltos
1. Halla lim(x→3) (x² + 2x − 1).
Es un polinomio, así que sustituimos x = 3: 9 + 6 − 1 = 14.
2. Halla lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Al sustituir x = 2 sale 0/0. Factorizamos: (x − 2)(x + 2)/(x − 2). Simplificamos (x − 2): queda x + 2. Ahora sustituimos x = 2: la respuesta es 4.
3. f(x) = x + 1 para x < 1 y f(x) = 3x para x ≥ 1. ¿Existe lim(x→1) f(x)?
Límite por la izquierda: 1 + 1 = 2. Límite por la derecha: 3 × 1 = 3. No son iguales, así que el límite no existe.
4. Halla lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1).
Usamos (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹ con n = 10, a = 1: 10 × 1⁹ = 10.
5. Halla lim(x→0) sen 4x / sen 2x.
Lo escribimos como [sen 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sen 2x/(2x)] × 2x). Los dos corchetes → 1. Así que la respuesta es 4x/2x = 2.
6. Halla lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x.
Multiplicamos y dividimos entre 2: 2 × (e²ˣ − 1)/(2x). La fracción → 1, así que la respuesta es 2.
7. Halla lim(x→0) ln(1 + 3x)/x.
Lo escribimos como 3 × ln(1 + 3x)/(3x). La fracción → 1 cuando 3x → 0. Respuesta: 3.
8. Halla lim(x→0) (1 − cos 2x)/x².
1 − cos 2x = 2 sen²x. Entonces el límite es 2 × (sen x / x)² → 2 × 1 = 2.
Errores comunes
- Escribir 0/0 como respuesta. 0/0 solo significa «hay que trabajar más»: factoriza, simplifica o usa un límite estándar.
- Usar grados en sen x / x. El resultado 1 es cierto solo cuando x está en radianes.
- Pensar que el límite debe ser igual a f(a). Una gráfica puede tener un hueco en a y aun así tener límite ahí.
- Comprobar solo un lado. Si los límites por la izquierda y por la derecha son distintos, el límite no existe.