Was ist ein Grenzwert? (die anschauliche Idee)
Stell dir einen Punkt vor, der sich auf einem Graphen bewegt. Wir bringen x immer näher an eine Zahl a heran und beobachten die Höhe f(x).
Nähert sich f(x) immer mehr einer einzigen Zahl L, schreiben wir lim(x→a) f(x) = L. Sprich: „Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist L.“
Wichtig: Der Grenzwert interessiert sich nicht für den Wert an der Stelle a. Die Funktion darf dort sogar eine Lücke haben. Es zählen nur die Werte in der Nähe von a.
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
Kommen wir von kleineren Zahlen (wie 1.9, 1.99), erhalten wir den linksseitigen Grenzwert, geschrieben x → a⁻. Kommen wir von größeren Zahlen (2.1, 2.01), erhalten wir den rechtsseitigen Grenzwert, x → a⁺.
Der Grenzwert existiert nur, wenn beide gleich sind. Springt der Graph, sind die beiden Seiten verschieden, also gibt es keinen Grenzwert.
Rechenregeln für Grenzwerte
Wenn lim f(x) und lim g(x) für x → a beide existieren, gilt:
- Grenzwert einer Summe = Summe der Grenzwerte
- Grenzwert einer Differenz = Differenz der Grenzwerte
- Grenzwert eines Produkts = Produkt der Grenzwerte
- Grenzwert eines Quotienten = Quotient der Grenzwerte (der Grenzwert im Nenner darf nicht 0 sein)
- Grenzwert von k·f(x) = k × Grenzwert von f(x)
Mit diesen Regeln zerlegen wir einen schweren Grenzwert in kleine, leichte Stücke.
Grenzwerte von Polynomfunktionen
Ein Polynom hat keine Lücken und keine Sprünge. Sein Grenzwert ist also einfach sein Funktionswert.
Beispiel: lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11.
Grenzwerte von gebrochenrationalen Funktionen
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Polynom geteilt durch ein anderes, p(x)/q(x).
- Ist q(a) ≠ 0, setze einfach x = a ein.
- Erhältst du 0/0, ist das noch keine Antwort. Es heißt, dass (x − a) ein Faktor von Zähler und Nenner ist. Zerlege in Faktoren, kürze (x − a) und setze dann x = a ein.
Ein sehr nützliches Ergebnis
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹. Zum Beispiel lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80.
Grenzwerte trigonometrischer Funktionen
sin x und cos x sind glatt, daher gilt lim(x→a) sin x = sin a und lim(x→a) cos x = cos a.
Zwei Standardergebnisse (x im Bogenmaß):
- lim(x→0) sin x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
Warum stimmt das erste? Am Einheitskreis sind für einen kleinen Winkel x der Bogen (Länge x) und die halbe Sehne (Länge sin x) fast gleich lang. Ein Einschließungsargument mit Flächen beweist es: cos x ≤ sin x / x ≤ 1, und beide Enden gehen gegen 1.
Trick: Bring Winkel und Nenner in Übereinstimmung. lim sin 5x / x = 5 × lim (sin 5x)/(5x) = 5.
Grenzwerte von Exponential- und Logarithmusfunktionen
eˣ und ln x sind dort glatt, wo sie definiert sind. Also dürfen wir den Wert einsetzen (bei ln x muss x > 0 sein).
Zwei Standardergebnisse:
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Wieder gilt: Bring das Innere mit dem Nenner in Übereinstimmung: lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3.
Wie Grenzwerte zur Ableitung führen
Für die Steigung einer Kurve an einem Punkt bräuchten wir den Abstand null, durch den wir nicht teilen können. Also nehmen wir einen kleinen Abstand h und lassen h → 0 gehen. Dieser Grenzwert ist die Ableitung. Sie kommt in der nächsten Lektion dran.
Probier es aus
Nimm einen Taschenrechner im Bogenmaß-Modus. Berechne sin(0.1)/0.1, sin(0.01)/0.01 und sin(0.001)/0.001. Sag voraus, wohin die Werte laufen. Öffne dann das freie 3D-Spiel, wähle sin x / x und mach h winzig, um es zu prüfen.
Wichtige Formeln und Definitionen
- lim(x→a) f(x) = L, wenn f(x) → L von beiden Seiten
- Grenzwert existiert ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sin x / x = 1 (x im Bogenmaß)
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Gelöste Beispiele
1. Berechne lim(x→3) (x² + 2x − 1).
Es ist ein Polynom, also setze x = 3 ein: 9 + 6 − 1 = 14.
2. Berechne lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Einsetzen von x = 2 ergibt 0/0. Zerlege: (x − 2)(x + 2)/(x − 2). Kürze (x − 2): x + 2. Setze jetzt x = 2 ein: Ergebnis 4.
3. f(x) = x + 1 für x < 1 und f(x) = 3x für x ≥ 1. Existiert lim(x→1) f(x)?
Linksseitiger Grenzwert: 1 + 1 = 2. Rechtsseitiger Grenzwert: 3 × 1 = 3. Sie sind nicht gleich, also existiert der Grenzwert nicht.
4. Berechne lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1).
Nutze (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹ mit n = 10, a = 1: 10 × 1⁹ = 10.
5. Berechne lim(x→0) sin 4x / sin 2x.
Schreibe es als [sin 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sin 2x/(2x)] × 2x). Beide Klammern → 1. Das Ergebnis ist also 4x/2x = 2.
6. Berechne lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x.
Erweitere mit 2: 2 × (e²ˣ − 1)/(2x). Der Bruch → 1, also ist das Ergebnis 2.
7. Berechne lim(x→0) ln(1 + 3x)/x.
Schreibe es als 3 × ln(1 + 3x)/(3x). Der Bruch → 1, weil 3x → 0. Ergebnis: 3.
8. Berechne lim(x→0) (1 − cos 2x)/x².
1 − cos 2x = 2 sin²x. Also ist der Grenzwert 2 × (sin x / x)² → 2 × 1 = 2.
Häufige Fehler
- 0/0 als Ergebnis hinschreiben. 0/0 heißt nur: „Es ist mehr Arbeit nötig“. Zerlege in Faktoren, kürze oder nutze einen Standardgrenzwert.
- Grad statt Bogenmaß bei sin x / x benutzen. Das Ergebnis 1 stimmt nur, wenn x im Bogenmaß ist.
- Glauben, der Grenzwert müsse gleich f(a) sein. Ein Graph kann bei a eine Lücke haben und trotzdem dort einen Grenzwert besitzen.
- Nur eine Seite prüfen. Sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden, existiert der Grenzwert nicht.