Die Ableitung als Steigung der Tangente
Eine Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte einer Kurve. Ihre Steigung ist Höhenunterschied ÷ Schrittweite = [f(x + h) − f(x)]/h.
Schiebe nun den zweiten Punkt auf den ersten zu (h → 0). Die Sekante wird zur Tangente, der Geraden, die die Kurve in genau einem Punkt berührt. Ihre Steigung ist die Ableitung f′(x).
Bei y = x² an der Stelle x = 1: Die Sekantensteigung ist 2 + h, also ist die Tangentensteigung 2.
Die Ableitung als Änderungsrate
Ist s(t) der Weg nach der Zeit t, dann ist [s(t + h) − s(t)]/h die mittlere Geschwindigkeit über die Zeit h. Lässt man h → 0 gehen, erhält man die Momentangeschwindigkeit ds/dt.
Allgemein sagt dy/dx, um wie viele Einheiten sich y ändert, wenn sich x um eine Einheit ändert, genau in diesem Moment. Beispiel: Die Fläche eines Kreises A = πr² ändert sich mit dA/dr = 2πr. Bei r = 5 cm sind das 10π cm² pro cm.
Die Ableitung über die Definition (Grenzwert)
Die Definition (auch Ableitung aus dem Grenzwert oder h-Methode genannt) lautet:
f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
Schritte: (1) f(x + h) aufschreiben; (2) f(x) abziehen; (3) durch h teilen und vereinfachen; (4) h → 0 gehen lassen.
Wichtige Ergebnisse
- d/dx(xⁿ) = n xⁿ⁻¹ (für jede reelle Zahl n)
- d/dx(Konstante) = 0
- d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x, d/dx(tan x) = sec²x
Für sin x: [sin(x + h) − sin x]/h = 2cos(x + h/2)·sin(h/2)/h. Da sin(h/2)/(h/2) → 1, ist das Ergebnis cos x. Hier benutzen wir den Grenzwert sin θ/θ → 1 aus der vorigen Lektion.
Ableitung von Summe und Differenz
(u + v)′ = u′ + v′ und (u − v)′ = u′ − v′. Außerdem (k·u)′ = k·u′ für eine Konstante k.
Ein Polynom leitet man also Term für Term ab: d/dx(4x³ − 5x + 7) = 12x² − 5.
Ableitung eines Produkts (Produktregel)
(uv)′ = u·v′ + v·u′
Stell dir ein Rechteck mit den Seiten u und v vor. Wächst x ein wenig, wächst u um du und v um dv. Die Fläche bekommt einen oberen Streifen u·dv und einen seitlichen Streifen v·du dazu. Die winzige Ecke du·dv ist so klein, dass sie für h → 0 verschwindet.
Achtung: (uv)′ ist nicht u′·v′.
Ableitung eines Quotienten (Quotientenregel)
(u/v)′ = (v·u′ − u·v′)/v², wobei v ≠ 0.
Wegen des Minuszeichens kommt es auf die Reihenfolge an: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles durch Nenner zum Quadrat.
Beispiel: d/dx [x/(x + 1)] = [(x + 1)·1 − x·1]/(x + 1)² = 1/(x + 1)².
Probier es aus
Geh 4 Minuten lang und notiere deinen Weg nach jeder Minute. Berechne die mittlere Geschwindigkeit für jede Minute. Wähle dann im freien 3D-Spiel x², setze x = 1 und verkleinere h langsam. Sag die Steigung laut voraus, bevor du auf die Anzeige schaust.
Wichtige Formeln und Definitionen
- f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
- d/dx(xⁿ) = n xⁿ⁻¹; d/dx(c) = 0
- d/dx(sin x) = cos x; d/dx(cos x) = −sin x; d/dx(tan x) = sec²x
- (u ± v)′ = u′ ± v′; (ku)′ = k u′
- (uv)′ = u v′ + v u′
- (u/v)′ = (v u′ − u v′)/v²
Gelöste Beispiele
1. Bestimme die Ableitung von f(x) = x² mit der Definition (h-Methode).
f(x + h) − f(x) = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h². Durch h teilen: 2x + h. Für h → 0: f′(x) = 2x.
2. Bestimme die Ableitung von f(x) = 1/x mit der Definition (h-Methode).
[1/(x + h) − 1/x]/h = [x − (x + h)]/[h·x(x + h)] = −1/[x(x + h)]. Für h → 0: f′(x) = −1/x².
3. Leite y = 5x⁴ − 3x² + 2x − 9 ab.
Term für Term: 20x³ − 6x + 2 − 0 = 20x³ − 6x + 2.
4. Ein Stein fällt s = 5t² Meter in t Sekunden. Wie schnell ist er bei t = 3 s?
ds/dt = 10t. Bei t = 3: 30 m/s.
5. Leite y = x² sin x ab.
Produktregel mit u = x², v = sin x: y′ = x²·cos x + sin x·2x = x² cos x + 2x sin x.
6. Leite y = (x + 1)/(x − 1) ab.
u = x + 1, v = x − 1, u′ = v′ = 1. y′ = [(x − 1)·1 − (x + 1)·1]/(x − 1)² = −2/(x − 1)².
7. Leite y = sin x / x ab.
Quotientenregel: y′ = (x cos x − sin x)/x².
8. Bestimme die Steigung der Tangente an y = x³ − 2x bei x = 2.
y′ = 3x² − 2. Bei x = 2: 12 − 2 = 10. Die Tangentensteigung ist 10.
Häufige Fehler
- (uv)′ = u′v′ schreiben. Die richtige Regel hat zwei Teile: uv′ + vu′.
- Die Reihenfolge in der Quotientenregel vertauschen. Im Zähler steht v·u′ − u·v′, nicht u·v′ − v·u′.
- Bei der Definition h zu früh gleich 0 setzen. Erst h kürzen, dann h → 0.
- Vergessen, dass die Ableitung einer Konstanten 0 ist, oder dass d/dx(cos x) ein Minuszeichen hat.