La dérivée, pente de la tangente
Une sécante est une droite qui passe par deux points d'une courbe. Sa pente est montée ÷ avancée = [f(x + h) − f(x)]/h.
Fais maintenant glisser le deuxième point vers le premier (h → 0). La sécante devient la tangente, la droite qui touche juste la courbe en un point. Sa pente est la dérivée f′(x).
Sur y = x² en x = 1 : la pente de la sécante est 2 + h, donc la pente de la tangente est 2.
La dérivée, taux de variation
Si s(t) est la distance après un temps t, alors [s(t + h) − s(t)]/h est la vitesse moyenne sur la durée h. Quand h → 0, on obtient la vitesse instantanée, ds/dt.
En général, dy/dx dit de combien d'unités y change pour une unité de x, à cet instant précis. Exemple : l'aire d'un cercle A = πr² varie de dA/dr = 2πr. Pour r = 5 cm, cela fait 10π cm² par cm.
Dérivée par la définition
La définition (appelée aussi premier principe ou méthode ab initio) est :
f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
Étapes : (1) écrire f(x + h) ; (2) soustraire f(x) ; (3) diviser par h et simplifier ; (4) faire tendre h vers 0.
Résultats usuels
- d/dx(xⁿ) = n xⁿ⁻¹ (pour tout réel n)
- d/dx(constante) = 0
- d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x, d/dx(tan x) = sec²x
Pour sin x : [sin(x + h) − sin x]/h = 2cos(x + h/2)·sin(h/2)/h. Comme sin(h/2)/(h/2) → 1, le résultat est cos x. On utilise ici la limite sin θ/θ → 1 vue dans la leçon précédente.
Dérivée d'une somme et d'une différence
(u + v)′ = u′ + v′ et (u − v)′ = u′ − v′. De plus (k·u)′ = k·u′ pour une constante k.
Un polynôme se dérive donc terme à terme : d/dx(4x³ − 5x + 7) = 12x² − 5.
Dérivée d'un produit (règle du produit)
(uv)′ = u·v′ + v·u′
Imagine un rectangle de côtés u et v. Quand x augmente un peu, u augmente de du et v de dv. L'aire gagne une bande du haut u·dv et une bande du côté v·du. Le minuscule coin du·dv est si petit qu'il disparaît quand h → 0.
Attention : (uv)′ n'est pas u′·v′.
Dérivée d'un quotient (règle du quotient)
(u/v)′ = (v·u′ − u·v′)/v², avec v ≠ 0.
L'ordre compte à cause du signe moins : bas × dérivée du haut, moins haut × dérivée du bas, le tout sur le bas au carré.
Exemple : d/dx [x/(x + 1)] = [(x + 1)·1 − x·1]/(x + 1)² = 1/(x + 1)².
À toi de jouer
Marche pendant 4 minutes et note ta distance chaque minute. Calcule la vitesse moyenne pour chaque minute. Puis, dans le jeu libre en 3D, choisis x², mets x = 1 et réduis h doucement. Dis la pente à voix haute avant de regarder l'affichage.
Formules et définitions clés
- f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
- d/dx(xⁿ) = n xⁿ⁻¹ ; d/dx(c) = 0
- d/dx(sin x) = cos x ; d/dx(cos x) = −sin x ; d/dx(tan x) = sec²x
- (u ± v)′ = u′ ± v′ ; (ku)′ = k u′
- (uv)′ = u v′ + v u′
- (u/v)′ = (v u′ − u v′)/v²
Exemples résolus
1. Trouve la dérivée de f(x) = x² par la définition.
f(x + h) − f(x) = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h². On divise par h : 2x + h. On fait tendre h vers 0 : f′(x) = 2x.
2. Trouve la dérivée de f(x) = 1/x par la définition.
[1/(x + h) − 1/x]/h = [x − (x + h)]/[h·x(x + h)] = −1/[x(x + h)]. On fait tendre h vers 0 : f′(x) = −1/x².
3. Dérive y = 5x⁴ − 3x² + 2x − 9.
Terme à terme : 20x³ − 6x + 2 − 0 = 20x³ − 6x + 2.
4. Une pierre tombe selon s = 5t² mètres en t secondes. Trouve sa vitesse à t = 3 s.
ds/dt = 10t. Pour t = 3 : 30 m/s.
5. Dérive y = x² sin x.
Règle du produit avec u = x², v = sin x : y′ = x²·cos x + sin x·2x = x² cos x + 2x sin x.
6. Dérive y = (x + 1)/(x − 1).
u = x + 1, v = x − 1, u′ = v′ = 1. y′ = [(x − 1)·1 − (x + 1)·1]/(x − 1)² = −2/(x − 1)².
7. Dérive y = sin x / x.
Règle du quotient : y′ = (x cos x − sin x)/x².
8. Trouve la pente de la tangente à y = x³ − 2x en x = 2.
y′ = 3x² − 2. Pour x = 2 : 12 − 2 = 10. La pente de la tangente est 10.
Erreurs fréquentes
- Écrire (uv)′ = u′v′. La bonne règle a deux parties : uv′ + vu′.
- Inverser l'ordre dans la règle du quotient. Au numérateur, c'est v·u′ − u·v′, pas u·v′ − v·u′.
- Mettre h = 0 trop tôt dans la définition. Simplifie d'abord par h, puis fais tendre h vers 0.
- Oublier que la dérivée d'une constante vaut 0, ou que d/dx(cos x) a un signe moins.