Qu'est-ce qu'une limite ? (l'idée intuitive)
Imagine un point qui se déplace sur un graphique. On rapproche x de plus en plus d'un nombre a. On regarde la hauteur f(x).
Si f(x) se rapproche de plus en plus d'un seul nombre L, on écrit lim(x→a) f(x) = L. On lit : « la limite de f(x) quand x tend vers a est L ».
Important : la limite ne s'occupe pas de la valeur en a. La fonction peut même avoir un trou à cet endroit. Elle s'occupe seulement des valeurs proches de a.
Limite à gauche et limite à droite
Si on vient de nombres plus petits (comme 1.9, 1.99), on obtient la limite à gauche, notée x → a⁻. Si on vient de nombres plus grands (2.1, 2.01), on obtient la limite à droite, notée x → a⁺.
La limite existe seulement si les deux sont égales. Si le graphique fait un saut, les deux côtés sont différents, donc il n'y a pas de limite.
Règles de calcul sur les limites
Si lim f(x) et lim g(x) existent toutes les deux quand x → a, alors :
- limite d'une somme = somme des limites
- limite d'une différence = différence des limites
- limite d'un produit = produit des limites
- limite d'un quotient = quotient des limites (la limite du bas ne doit pas être 0)
- limite de k·f(x) = k × limite de f(x)
Ces règles permettent de couper une limite difficile en petits morceaux faciles.
Limites des fonctions polynômes
Un polynôme n'a ni trou ni saut. Sa limite est donc simplement sa valeur.
Exemple : lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11.
Limites des fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est un polynôme divisé par un autre, p(x)/q(x).
- Si q(a) ≠ 0, on remplace simplement x = a.
- Si tu obtiens 0/0, ce n'est pas une réponse. Cela veut dire que (x − a) est un facteur du haut et du bas. Factorise, simplifie (x − a), puis remplace x = a.
Un résultat très utile
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹. Par exemple lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80.
Limites des fonctions trigonométriques
sin x et cos x sont des fonctions lisses, donc lim(x→a) sin x = sin a et lim(x→a) cos x = cos a.
Deux résultats usuels (x en radians) :
- lim(x→0) sin x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
Pourquoi le premier est-il vrai ? Sur un cercle de rayon 1, pour un petit angle x, l'arc (de longueur x) et la demi-corde (de longueur sin x) sont presque pareils. Un argument d'encadrement avec les aires le prouve : cos x ≤ sin x / x ≤ 1, et les deux extrémités tendent vers 1.
Astuce : fais correspondre l'angle et le dénominateur. lim sin 5x / x = 5 × lim (sin 5x)/(5x) = 5.
Limites des fonctions exponentielle et logarithme
eˣ et ln x sont lisses là où elles sont définies, donc on peut remplacer par la valeur (pour ln x il faut x > 0).
Deux résultats usuels :
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Là encore, fais correspondre l'intérieur et le dénominateur : lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3.
Des limites aux dérivées
Pour trouver la pente d'une courbe en un seul point, il faudrait un écart nul, et on ne peut pas diviser par zéro. On prend donc un petit écart h et on fait tendre h → 0. Cette limite est la dérivée. Tu l'étudieras dans la prochaine leçon.
À toi de jouer
Utilise une calculatrice en mode radians. Calcule sin(0.1)/0.1, sin(0.01)/0.01 et sin(0.001)/0.001. Prévois vers quelle valeur vont les résultats. Ouvre ensuite le jeu libre en 3D, choisis sin x / x et rends h très petit pour vérifier.
Formules et définitions clés
- lim(x→a) f(x) = L quand f(x) → L des deux côtés
- La limite existe ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sin x / x = 1 (x en radians)
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Exemples résolus
1. Trouve lim(x→3) (x² + 2x − 1).
C'est un polynôme, donc on remplace x = 3 : 9 + 6 − 1 = 14.
2. Trouve lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Pour x = 2 on obtient 0/0. On factorise : (x − 2)(x + 2)/(x − 2). On simplifie (x − 2) : x + 2. On remplace x = 2 : réponse 4.
3. f(x) = x + 1 pour x < 1 et f(x) = 3x pour x ≥ 1. La limite lim(x→1) f(x) existe-t-elle ?
Limite à gauche : 1 + 1 = 2. Limite à droite : 3 × 1 = 3. Elles ne sont pas égales, donc la limite n'existe pas.
4. Trouve lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1).
On utilise (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹ avec n = 10, a = 1 : 10 × 1⁹ = 10.
5. Trouve lim(x→0) sin 4x / sin 2x.
On l'écrit [sin 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sin 2x/(2x)] × 2x). Les deux crochets → 1. La réponse est donc 4x/2x = 2.
6. Trouve lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x.
On multiplie et on divise par 2 : 2 × (e²ˣ − 1)/(2x). La fraction → 1, donc la réponse est 2.
7. Trouve lim(x→0) ln(1 + 3x)/x.
On l'écrit 3 × ln(1 + 3x)/(3x). La fraction → 1 quand 3x → 0. Réponse : 3.
8. Trouve lim(x→0) (1 − cos 2x)/x².
1 − cos 2x = 2 sin²x. La limite est donc 2 × (sin x / x)² → 2 × 1 = 2.
Erreurs fréquentes
- Écrire 0/0 comme réponse. 0/0 veut seulement dire « il faut travailler encore » : factorise, simplifie ou utilise une limite usuelle.
- Utiliser les degrés dans sin x / x. Le résultat 1 est vrai seulement quand x est en radians.
- Croire que la limite doit être égale à f(a). Un graphique peut avoir un trou en a et pourtant avoir une limite en ce point.
- Regarder un seul côté. Si les limites à gauche et à droite sont différentes, la limite n'existe pas.