France Terminale Complementary Mathematics
अध्याय: 2
1. Study themes
Models defined by a function · Growth models · History of the logarithm · Computing areas · Wealth distribution and inequality · Bayesian inference · Repeated trials and sampling · Waiting times · Correlation and causation
- फलन: इनपुट, नियम, आउटपुट – फलन (function) ऐसा नियम है जो हर इनपुट के लिए ठीक एक आउटपुट देता है। इसे f(x) लिखते हैं। f(a) को a का प्रतिबिंब (image) कहते हैं; जो इनपुट कोई दिया हुआ आउटपुट दे, वह पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) है। फलन को शब्दों, सारणी, सूत्र या ग्राफ़ से दिखा सकते हैं। ग्राफ़ ऊपर जा सकता है (वर्धमान), नीचे जा सकता है (ह्रासमान), और उसका सबसे ऊँचा (अधिकतम) या सबसे नीचा (न्यूनतम) बिंदु हो सकता है।
- वृद्धि के मॉडल: पुनरावर्ती अनुक्रम और y' = ay + b – वृद्धि का मॉडल बताता है कि कोई मात्रा चरण-दर-चरण कैसे बदलती है: u(n+1) = a·u(n) + b। b = 0 हो तो गुणोत्तर, a = 1 हो तो समांतर। 0 < a < 1 हो तो अनुक्रम स्थिर बिंदु L = b/(1 − a) की ओर जाता है। सतत रूप y' = ay + b है, जिसका हल y = C·e^(ax) − b/a है। यूलर विधि y' = f(y) को फिर चरणों में बदलती है और लॉजिस्टिक मॉडल सीमा के पास वृद्धि धीमी कर देता है।
- लघुगणक (Logarithm) – लघुगणक बताता है कि कौन-सी घात चाहिए। log_b x = y का मतलब b^y = x। जैसे log₂ 8 = 3, क्योंकि 2³ = 8। लघुगणक गुणा को जोड़ में बदल देता है: log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(aⁿ) = n log a। आधार 10 = साधारण लघुगणक, आधार e = प्राकृतिक लघुगणक (ln)। आधार बदल सकते हैं: log_b x = log x ÷ log b।
- समाकलन – समाकलन अवकलन को उलट देता है: अगर F′(x) = f(x), तो ∫f(x) dx = F(x) + C। हम मानक सूत्रों, प्रतिस्थापन (अंदर वाले हिस्से को u मानना), आंशिक भिन्न (भिन्न को तोड़ना) और खंडशः समाकलन (∫u dv = uv − ∫v du) से समाकलन करते हैं। निश्चित समाकल ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक वक्र के नीचे का चिह्नित क्षेत्रफल है, और मूल प्रमेय के अनुसार यह F(b) − F(a) के बराबर है।
- आय असमानता – आय असमानता का मतलब है कि लोगों के बीच आय बराबर नहीं बँटी है। अर्थशास्त्री लोगों को सबसे ग़रीब से सबसे अमीर तक क्रम में रखकर 20-20% के पाँच समूहों (पंचमक, quintiles) में बाँटते हैं और उनके हिस्से की तुलना करते हैं। लॉरेंज़ वक्र लोगों के संचयी % के सामने आय का संचयी % दिखाता है; यह समानता की सीधी रेखा से जितना ज़्यादा झुके, असमानता उतनी ज़्यादा। गिनी गुणांक = A ÷ (A + B) इसे 0 (पूरी समानता) से 1 (सारी आय एक व्यक्ति के पास) के बीच एक संख्या बना देता है। संपत्ति (जो तुम्हारे पास है) आमतौर पर आय (जो तुम कमाते हो) से ज़्यादा असमान होती है। सरकार प्रगतिशील कर, सहायता, न्यूनतम मज़दूरी और मुफ़्त शिक्षा-स्वास्थ्य से असमानता घटाती है।
- सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम और स्वतंत्र घटनाएँ – सप्रतिबंध प्रायिकता का मतलब है: जब हमें पहले से पता हो कि घटना B हो चुकी है, तब A का मौका। B के बाहर के सारे परिणाम हटाओ और फिर से गिनो: P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)। इसी से गुणन नियम मिलता है: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B)। अगर B जानकर A का मौका न बदले, तो घटनाएँ स्वतंत्र हैं और P(A ∩ B) = P(A)·P(B)।
- द्विपद बंटन (Binomial Distribution) – एक ही हाँ/ना वाला प्रयोग n बार दोहराओ, हर बार स्वतंत्र रूप से और हर बार सफलता की प्रायिकता p बराबर। तब सफलताओं की संख्या X द्विपद बंटन B(n, p) मानती है: P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ qⁿ⁻ᵏ, जहाँ q = 1 − p। माध्य np और प्रसरण npq होता है।
- असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन – यादृच्छिक चर X किसी प्रयोग के हर परिणाम को एक संख्या में बदलता है। उसका प्रायिकता बंटन हर मान x और उसकी प्रायिकता P(X = x) की सूची है; हर P, 0 और 1 के बीच होता है और सबका जोड़ 1 होता है। माध्य E(X) = Σx·P(x) लंबे समय का औसत (संतुलन बिंदु) है। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²P(x) = E(X²) − μ² फैलाव बताता है; σ = √Var। खास मॉडल: एकसमान, द्विपद B(n, p) जिसका माध्य np और प्रसरण np(1 − p), और प्वासों जिसमें माध्य = प्रसरण = λ।
- रैखिक समाश्रयण और न्यूनतम वर्ग रेखा – रैखिक समाश्रयण जोड़े वाले आँकड़ों (x, y) के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा ŷ = a + bx ढूँढता है। किसी असली बिंदु और रेखा के बीच का अंतर अवशिष्ट (residual) है: e = y − ŷ। न्यूनतम वर्ग रेखा वह है जिसमें अवशिष्टों के वर्गों का योग सबसे कम हो। ढाल b = Sxy ÷ Sxx और रेखा हमेशा माध्य बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती है। इससे x से y का अनुमान लगाते हैं, पर सिर्फ़ आँकड़ों की सीमा के अंदर। मज़बूत संबंध का मतलब यह नहीं कि x ही y का कारण है।
2. Content
Analysis toolkit · Probability distributions and bivariate statistics · Algorithms and programming
- सांतत्य तथा अवकलनीयता – किसी बिंदु पर फलन सतत तब है जब वहाँ ग्राफ़ टूटता नहीं: बायीं सीमा, दायीं सीमा और फलन का मान तीनों बराबर हों। अवकलज स्पर्श रेखा की ढाल है। शृंखला नियम, अस्पष्ट अवकलन, eˣ, ln x और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के सूत्र, लघुगणकीय अवकलन और प्राचलिक रूप से कक्षा 12 का लगभग हर फलन अवकलित हो जाता है। द्वितीय अवकलज बताता है कि ढाल खुद कैसे बदल रही है, यानी वक्र कैसे मुड़ रहा है।
- असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन – यादृच्छिक चर X किसी प्रयोग के हर परिणाम को एक संख्या में बदलता है। उसका प्रायिकता बंटन हर मान x और उसकी प्रायिकता P(X = x) की सूची है; हर P, 0 और 1 के बीच होता है और सबका जोड़ 1 होता है। माध्य E(X) = Σx·P(x) लंबे समय का औसत (संतुलन बिंदु) है। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²P(x) = E(X²) − μ² फैलाव बताता है; σ = √Var। खास मॉडल: एकसमान, द्विपद B(n, p) जिसका माध्य np और प्रसरण np(1 − p), और प्वासों जिसमें माध्य = प्रसरण = λ।
- पायथन की मूल बातें: मोड, वेरिएबल, डेटा प्रकार और ऑपरेटर – पायथन इंटरैक्टिव मोड (एक-एक पंक्ति) या स्क्रिप्ट मोड (सहेजी गई .py फ़ाइल) में चलता है। ब्लॉक इंडेंटेशन से पहचाने जाते हैं। वेरिएबल मान से बँधे नाम हैं; हर मान का एक डेटा प्रकार होता है, और कुछ प्रकार परिवर्तनशील हैं। ऑपरेटर व्यंजक बनाते हैं जिन्हें पायथन प्राथमिकता के क्रम से हल करता है। input() टेक्स्ट पढ़ता है, int()/float()/str() प्रकार बदलते हैं, और डिबगिंग से सिंटैक्स, रनटाइम और तार्किक त्रुटियाँ ठीक होती हैं।
- Python से शुरुआत – Python उच्च स्तरीय, मुफ़्त व ओपन सोर्स, इंटरप्रेटेड, पोर्टेबल और केस-सेंसिटिव भाषा है जो पढ़ने में आसान है। इसे इंटरैक्टिव मोड (>>> के बाद लिखो, परिणाम तुरंत) या स्क्रिप्ट मोड (.py फ़ाइल में सेव करके चलाओ) में चलाते हैं। इसके कैरेक्टर सेट में अक्षर, अंक, विशेष चिह्न, खाली जगह और यूनिकोड अक्षर हैं। प्रोग्राम की सबसे छोटी इकाई टोकन है: कीवर्ड, पहचानकर्ता, लिटरल, ऑपरेटर और विराम चिह्न। वेरिएबल एक नाम है जो किसी मान की ओर इशारा करता है; असाइनमेंट में दायाँ भाग (r-value) पहले निकलकर बाएँ (l-value) में रखा जाता है। # से शुरू टिप्पणी को Python छोड़ देता है।
- कक्षा 12 के लिए पायथन रिवीजन: कक्षा 11 की सारी बातें एक जगह – कक्षा 12 का पायथन कक्षा 11 पर टिका है। आपको टोकन (कीवर्ड, आइडेंटिफ़ायर, लिटरल, ऑपरेटर, पंक्चुएटर), डेटा प्रकार (int, float, bool, str, list, tuple, dict), कौन-से प्रकार अपनी जगह पर बदल सकते हैं (म्यूटेबल) और कौन नहीं (इम्यूटेबल), ऑपरेटरों का क्रम, if-elif-else, for और while लूप, break-continue, स्ट्रिंग स्लाइसिंग और लिस्ट, ट्यूपल, डिक्शनरी के मुख्य मेथड आने चाहिए।