फलन क्या है?
कुछ राशियाँ दूसरी राशियों पर निर्भर करती हैं। पेन का दाम इस पर निर्भर है कि कितने पेन ख़रीदे। जो हम चुनते हैं वह चर (variable) यानी इनपुट है। जो मिलता है वह आउटपुट है।
फलन ऐसा नियम है जो हर इनपुट के लिए ठीक एक आउटपुट देता है। अगर एक इनपुट से दो अलग आउटपुट निकल सकें, तो वह फलन नहीं है।
- “संख्या को दुगना करो” फलन है: 5 → 10।
- “वह संख्या जिसका वर्ग 9 है” फलन नहीं: 9 तो 3 से भी आता है और −3 से भी, इसलिए दो जवाब मिलते हैं।
फलन संकेतन, प्रतिबिंब और पूर्व-प्रतिबिंब
फलन को एक अक्षर से नाम देते हैं, अक्सर f। लिखते हैं f(x) = 2x + 1। पढ़ो: “f ऑफ़ x बराबर दो x धन एक”।
- f(3) यानी “3 डालो”: f(3) = 2 × 3 + 1 = 7।
- 7, 3 का प्रतिबिंब (image) है।
- 3, 7 का पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) है। इसे निकालने के लिए समीकरण f(x) = 7 हल करो।
ध्यान दो: f(x) का मतलब f गुणा x नहीं है। यह नाम और इनपुट है।
प्रांत और परिसर
प्रांत (domain) वे इनपुट हैं जो डाल सकते हैं। परिसर (range) वे आउटपुट हैं जो सच में मिलते हैं। बिके टिकटों की संख्या के लिए प्रांत सिर्फ़ पूर्ण संख्याएँ हैं — 2.5 टिकट नहीं बिकते।
फलन दिखाने के चार तरीके
एक ही फलन चार तरह से दिखा सकते हैं। इनके बीच बदलना सीखो।
- शब्द: “संख्या दुगनी करो और एक जोड़ो”।
- सूत्र: f(x) = 2x + 1।
- सारणी: x = 0, 1, 2, 3 पर f(x) = 1, 3, 5, 7।
- ग्राफ़: बिंदु (x, f(x)) लगाओ और जोड़ो।
ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण (vertical line test): ग्राफ़ पर कोई खड़ी रेखा खींचो। अगर वह ग्राफ़ को कहीं दो बार काटे, तो एक इनपुट के दो आउटपुट हैं — फलन नहीं।
दो फलनों की तुलना सारणी या ग्राफ़ से करो: कौन तेज़ बढ़ता है? कहाँ दोनों बराबर हैं?
ग्राफ़ पढ़ना: बढ़ना, घटना, अधिकतम, न्यूनतम
ग्राफ़ को बाएँ से दाएँ पढ़ो, वाक्य की तरह।
- वर्धमान (increasing): ग्राफ़ ऊपर जाता है — बड़ा x, बड़ा आउटपुट।
- ह्रासमान (decreasing): ग्राफ़ नीचे जाता है।
- अधिकतम (maximum): सबसे ऊँचा बिंदु। न्यूनतम (minimum): सबसे नीचा बिंदु।
h(x) = 6x − x² (0 ≤ x ≤ 6) के लिए: 0 से 3 तक बढ़ता है, x = 3 पर अधिकतम 9, फिर 3 से 6 तक घटता है। विचरण सारणी (variation table) इसे तीरों से लिखती है: ↗ 9 तक, फिर ↘।
चिह्न सारणी (sign table) बताती है f(x) कहाँ धनात्मक (+), शून्य (0) या ऋणात्मक (−) है। f(x) = x − 2 के लिए: x < 2 पर ऋण, x = 2 पर शून्य, x > 2 पर धन।
असली ज़िंदगी के मॉडल के रूप में फलन
मॉडल ऐसा फलन है जो किसी असली चीज़ को बताता है। फ़ोन प्लान ₹99 और हर GB के ₹2: C(g) = 99 + 2g।
परिवर्तन की दर (rate of change) बताती है कि इनपुट की एक इकाई पर आउटपुट कितना बदलता है। g = 1 से g = 5 तक C, 101 से 109 होता है: दर = 8 ÷ 4 = ₹2 प्रति GB।
इष्टतमीकरण (optimisation) यानी सबसे अच्छा मान ढूँढना — अक्सर अधिकतम या न्यूनतम। गेंद की ऊँचाई h(t) = 6t − t² हो, तो t = 3 s पर गेंद सबसे ऊपर होती है।
करके देखो
10, फिर 20, फिर 30 कदम चलो और फ़ोन से समय नापो। कदम → सेकंड की सारणी बनाओ। क्या यह फलन है? ग्राफ़ बनाओ। फिर 3D के आख़िरी चरण में हर नियम आज़माओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x) = नियम; f(a) = a का प्रतिबिंब
- b का पूर्व-प्रतिबिंब: f(x) = b हल करो
- परिवर्तन की दर = (आउटपुट में बदलाव) ÷ (इनपुट में बदलाव)
- ग्राफ़ का बिंदु: (x, f(x))
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 2x + 1। f(5) निकालो।
x की जगह 5 रखो: f(5) = 2 × 5 + 1 = 10 + 1 = 11।
2. g(x) = x² − 3। g(−2) निकालो।
g(−2) = (−2)² − 3 = 4 − 3 = 1। याद रखो (−2)² = +4।
3. f(x) = 3x − 4। 11 का पूर्व-प्रतिबिंब निकालो।
3x − 4 = 11 हल करो। 4 जोड़ो: 3x = 15। 3 से भाग दो: x = 5। तो 5, 11 का पूर्व-प्रतिबिंब है।
4. f(x) = 10 − x के लिए x = 0, 2, 4, 6 की सारणी बनाओ और बताओ फलन बढ़ता है या घटता है।
f(0) = 10, f(2) = 8, f(4) = 6, f(6) = 4। x बढ़ने पर f(x) घटता है, तो f ह्रासमान है।
5. टैक्सी ₹50 और हर किमी के ₹12 लेती है। फलन लिखो और 8 किमी का किराया निकालो।
F(d) = 50 + 12d। F(8) = 50 + 96 = ₹146।
6. गेंद की ऊँचाई t सेकंड बाद h(t) = 6t − t² मीटर है। अधिकतम ऊँचाई और उसका समय निकालो।
सारणी: h(0)=0, h(1)=5, h(2)=8, h(3)=9, h(4)=8, h(5)=5, h(6)=0। t = 3 s पर 9 m तक पहुँचकर गिरती है। अधिकतम ऊँचाई 9 m, t = 3 s पर।
आम गलतियाँ
- f(x) को “f गुणा x” पढ़ना। इसका मतलब है “इनपुट x होने पर f का आउटपुट”।
- ऋण संख्या के साथ कोष्ठक भूलना: g(x) = x² में g(−3) = (−3)² = 9, −9 नहीं।
- प्रतिबिंब और पूर्व-प्रतिबिंब उलट देना: प्रतिबिंब आउटपुट है, पूर्व-प्रतिबिंब इनपुट।
- हर ग्राफ़ को फलन मान लेना। खड़ी रेखा दो बार काटे तो फलन नहीं।