ध्रुवीय (मापांक-कोणांक) रूप
सम्मिश्र संख्या z = x + iy को आर्गंड तल पर बिंदु (x, y) की तरह दिखाते हैं (दाएँ = वास्तविक भाग, ऊपर = काल्पनिक भाग)।
- मापांक r = |z| = √(x² + y²) — 0 से दूरी।
- कोणांक θ = arg z — धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण। मुख्य कोणांक (−π, π] में होता है।
तब x = r cos θ, y = r sin θ, इसलिए z = r(cos θ + i sin θ)।
चतुर्थांश का ध्यान रखो: z = −1 − i के लिए tan θ = 1, पर बिंदु तीसरे चतुर्थांश में है, तो θ = −3π/4 है, π/4 नहीं।
घातांकी (ऑयलर) रूप
ऑयलर का सूत्र: e^{iθ} = cos θ + i sin θ। इसलिए हर सम्मिश्र संख्या z = re^{iθ} है।
इस रूप में नियम आसान हो जाते हैं, क्योंकि e की घातें गुणा में जुड़ती हैं: e^{iα}·e^{iβ} = e^{i(α+β)}।
- θ = π रखो: e^{iπ} = −1।
- re^{iθ} का संयुग्मी re^{−iθ} है (वास्तविक अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब)।
- cos θ = (e^{iθ} + e^{−iθ})/2, sin θ = (e^{iθ} − e^{−iθ})/(2i)।
ध्रुवीय रूप में गुणा और भाग
अगर z₁ = r₁e^{iα} और z₂ = r₂e^{iβ}:
- z₁z₂ = r₁r₂ e^{i(α+β)} — लंबाई गुणा, कोण जोड़।
- z₁/z₂ = (r₁/r₂) e^{i(α−β)} — लंबाई भाग, कोण घटाओ।
इसलिए i से गुणा करना (लंबाई 1, कोण 90°) बिंदु को बस 90° वामावर्त घुमाना है।
द मुआवर प्रमेय
[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ), हर पूर्णांक n के लिए।
क्यों? z को n बार खुद से गुणा करने पर r, n बार गुणा होता है और θ, n बार जुड़ता है। धनात्मक n के लिए गणितीय आगमन से, ऋणात्मक n के लिए 1/z = r⁻¹e^{−iθ} से सिद्ध होता है।
उपयोग 1: जल्दी घात
(1 + i)¹⁰: r = √2, θ = π/4। तो (√2)¹⁰ e^{i·10π/4} = 32 e^{iπ/2} = 32i।
उपयोग 2: बहु-कोण सूत्र
(cos θ + i sin θ)³ को द्विपद प्रमेय से फैलाओ और cos 3θ + i sin 3θ से मिलाओ। वास्तविक भाग: cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ। काल्पनिक भाग: sin 3θ = 3sin θ − 4sin³θ।
उपयोग 3: cos θ की घातें
z = e^{iθ} लो: z + 1/z = 2cos θ और zⁿ + 1/zⁿ = 2cos nθ। इससे cos³θ = (cos 3θ + 3cos θ)/4 मिलता है — समाकलन में काम आता है।
n-वें मूल और इकाई के मूल
zⁿ = w हल करने के लिए (w = Re^{iφ}): लंबाई R^{1/n} होगी, और nθ = φ + कोई भी पूरा चक्कर।
z = R^{1/n} e^{i(φ + 2πk)/n}, k = 0, 1, …, n − 1। ठीक n अलग मूल।
- इकाई के मूल (w = 1): ω_k = e^{2πik/n}। ये इकाई वृत्त पर 360°/n के अंतर पर, सम n-भुज के कोनों पर हैं।
- ω = e^{2πi/n} लो, तो मूल 1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹ हैं और 1 + ω + … + ωⁿ⁻¹ = 0।
- इकाई के घनमूल: 1, ω = −½ + (√3/2)i, ω² = −½ − (√3/2)i; ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0।
बहुपदों के सम्मिश्र मूल
बीजगणित का मूल प्रमेय: घात n के बहुपद के ठीक n सम्मिश्र मूल होते हैं (दोहराव गिनकर)।
- गुणांक वास्तविक हों तो सम्मिश्र मूल संयुग्मी जोड़ों में आते हैं: 2 + 3i मूल है तो 2 − 3i भी।
- वर्गों का योग अब गुणनखंडित होता है: x² + 4 = (x + 2i)(x − 2i)।
- जोड़ा a ± bi वास्तविक द्विघात गुणनखंड x² − 2ax + (a² + b²) देता है।
- z³ − 1 = (z − 1)(z² + z + 1)।
करके देखो
आख़िरी स्टेप में n = 6 रखो और n मूल चुनो। पहले अंदाज़ा: कौन-सी आकृति, पड़ोसियों में कितना कोण? फिर θ = 60°, r = 1 रखकर घात zⁿ चुनो: z⁶ कहाँ गया? (उत्तर: षट्भुज, 60°, z⁶ = 1।) घर पर: एक वृत्त बनाओ, चाँदे से 72° के अंतर पर 5 बिंदु लगाओ — ये इकाई के पाँचवें मूल हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- z = r(cos θ + i sin θ) = re^{iθ}, r = √(x² + y²), tan θ = y/x (check quadrant)
- z₁z₂ = r₁r₂ e^{i(θ₁+θ₂)}, z₁/z₂ = (r₁/r₂) e^{i(θ₁−θ₂)}
- De Moivre: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
- zⁿ + z⁻ⁿ = 2cos nθ, zⁿ − z⁻ⁿ = 2i sin nθ (z = e^{iθ})
- nth roots of Re^{iφ}: R^{1/n} e^{i(φ+2πk)/n}, k = 0 … n−1
- Roots of unity: 1 + ω + ω² + … + ωⁿ⁻¹ = 0
हल किए गए उदाहरण
1. z = 1 + √3 i को ध्रुवीय और घातांकी रूप में लिखो।
r = √(1 + 3) = 2। tan θ = √3, पहला चतुर्थांश, θ = π/3। z = 2(cos π/3 + i sin π/3) = 2e^{iπ/3}।
2. (1 + √3 i)⁶ निकालो।
z = 2e^{iπ/3}। z⁶ = 2⁶ e^{2πi} = 64 × 1 = 64।
3. (1 − i)⁻⁴ निकालो।
r = √2, θ = −π/4। z⁻⁴ = (√2)⁻⁴ e^{iπ} = (1/4)(−1) = −1/4।
4. द मुआवर से दिखाओ: cos 2θ = cos²θ − sin²θ, sin 2θ = 2 sin θ cos θ।
(c + is)² = c² − s² + 2ics। यह cos 2θ + i sin 2θ के बराबर है। वास्तविक भाग: cos 2θ = c² − s²; काल्पनिक भाग: sin 2θ = 2sc।
5. z³ = 1 हल करो और मूल दिखाओ।
z = e^{2πik/3}, k = 0, 1, 2: 1, −½ + (√3/2)i, −½ − (√3/2)i। ये इकाई वृत्त पर समबाहु त्रिभुज के कोने हैं, 120° के अंतर पर।
6. z⁴ = −16 हल करो।
−16 = 16e^{iπ}। लंबाई 16^{1/4} = 2। कोण (π + 2πk)/4 = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4। मूल: √2 + √2 i, −√2 + √2 i, −√2 − √2 i, √2 − √2 i (त्रिज्या 2 का वर्ग)।
7. दिखाओ cos³θ = ¼(cos 3θ + 3cos θ)।
z = e^{iθ}, z + 1/z = 2cos θ। (z + 1/z)³ = (z³ + 1/z³) + 3(z + 1/z) = 2cos 3θ + 6cos θ। तो 8cos³θ = 2cos 3θ + 6cos θ।
8. एक वास्तविक त्रिघात बहुपद के मूल 2 और 1 + 2i हैं। बहुपद बताओ (मुख्य गुणांक 1)।
1 − 2i भी मूल है। जोड़े से x² − 2x + 5। बहुपद = (x − 2)(x² − 2x + 5) = x³ − 4x² + 9x − 10।
आम गलतियाँ
- चतुर्थांश देखे बिना θ = tan⁻¹(y/x) लेना। −1 − i का कोण −3π/4 है, π/4 नहीं।
- (r cis θ)ⁿ = r cis nθ लिखना — r की घात n लगाना भूल जाना।
- zⁿ = w का सिर्फ़ एक मूल देना। मूल हमेशा n होते हैं; n से भाग देने से पहले 2πk जोड़ो।
- 1 + ω + ω² को 3 या 1 समझना। n ≥ 2 के लिए इकाई के सभी n मूलों का योग 0 है।