द्विघात के मूल और गुणांक
बहुपद का मूल x का वह मान है जिस पर बहुपद शून्य हो जाए। ग्राफ़ पर वास्तविक मूल वे बिंदु हैं जहाँ वक्र x-अक्ष को काटता है।
अगर ax² + bx + c = 0 के मूल α और β हैं, तो ax² + bx + c = a(x − α)(x − β)। दाईं ओर फैलाने पर a(x² − (α + β)x + αβ) मिलता है। गुणांकों की तुलना करो:
α + β = −b/a और αβ = c/a।
यह मूल सम्मिश्र संख्याएँ हों तब भी सही है।
त्रिघात और चतुर्घात (विएता के सूत्र)
ax³ + bx² + cx + d = 0 के मूल α, β, γ हों तो:
- Σα = α + β + γ = −b/a
- Σαβ = αβ + βγ + γα = c/a
- αβγ = −d/a
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 के मूल α, β, γ, δ हों तो:
- Σα = −b/a, Σαβ = c/a (6 जोड़ियाँ), Σαβγ = −d/a (4 तिकड़ियाँ), αβγδ = e/a।
पैटर्न: पहले गुणांक के बाद चिह्न −, +, −, + चलते हैं।
मूलों के लिए उपयोगी सर्वसमिकाएँ (हल करने की ज़रूरत नहीं):
- α² + β² + γ² = (Σα)² − 2Σαβ
- 1/α + 1/β + 1/γ = Σαβ ÷ αβγ
- α³ + β³ + γ³ = (Σα)³ − 3(Σα)(Σαβ) + 3αβγ
मूलों से समीकरण बनाना
उलटा चलो: Σα, Σαβ और αβγ पता हों तो त्रिघात समीकरण है
x³ − (Σα)x² + (Σαβ)x − αβγ = 0
ज़रूरत हो तो भिन्न हटाने के लिए गुणा करो। उदाहरण: मूल 1, 2, 3 से Σα = 6, Σαβ = 11, αβγ = 6, तो x³ − 6x² + 11x − 6 = 0।
रूपांतरित मूल
मान लो किसी समीकरण के मूल α, β, γ हैं और तुम्हें ऐसा समीकरण चाहिए जिसके मूल एक ही तरह बदले हों, जैसे 2α, 2β, 2γ।
प्रतिस्थापन विधि: नए मूल को w मानो, पुराने मूल को w के रूप में लिखो और पुराने समीकरण में रखो।
- नए मूल α + k: w = x + k, तो x = w − k। x की जगह (w − k) रखो। ग्राफ़ k दाईं ओर खिसकता है।
- नए मूल kα: x = w/k। x की जगह w/k रखो, फिर भिन्न हटाओ।
- नए मूल 1/α: x = 1/w। x की जगह 1/w रखो, फिर w³ से गुणा करो।
- नए मूल α²: x = √w। ऐसे व्यवस्थित करो कि एक तरफ़ √w की सिर्फ़ विषम घातें रहें, फिर वर्ग करो।
दूसरा तरीक़ा: पुराने योग, जोड़ियों और गुणनफल से नए निकालो। प्रतिस्थापन अक्सर जल्दी होता है।
बहुपद सर्वसमिकाएँ और उनकी उपपत्ति
सर्वसमिका चरों के हर मान के लिए सच होती है (चिह्न ≡)। समीकरण सिर्फ़ कुछ मानों के लिए सच होता है।
सर्वसमिका सिद्ध करने के लिए: एक पक्ष (आमतौर पर ज़्यादा जटिल) से शुरू करो, क़दम-दर-क़दम फैलाओ या गुणनखंड करो, और दूसरे पक्ष तक पहुँचो। दोनों पक्षों पर एक साथ काम मत करो, जैसे कोई समीकरण हल कर रहे हो।
उपयोगी सर्वसमिकाएँ:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- (x² + y²)² = (x² − y²)² + (2xy)²: इससे पाइथागोरियन त्रिक बनते हैं। x = 2, y = 1 पर: 5² = 3² + 4²।
सर्वसमिकाओं से मन में गणना भी होती है: 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499।
द्विपद प्रमेय
(a + b)ⁿ को हाथ से फैलाना लंबा होता है। द्विपद प्रमेय सीधा उत्तर देता है:
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ, k = 0 से n तक,
जहाँ C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!) पास्कल त्रिभुज की संख्याएँ हैं (1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1 …)।
3D घन n = 3 दिखाता है: एक p³ टुकड़ा, तीन p²q, तीन pq² और एक q³: 1, 3, 3, 1।
करके देखो: एक गतिविधि
3D में: मूल −1, 2, 2 रखो। योग, जोड़ियों का योग और गुणनफल का अनुमान लगाओ, फिर रीडआउट से जाँचो। k = −2 रखो और देखो वक्र किधर खिसकता है।
घर पर: 27 चीनी के क्यूब या पासों से 3 × 3 × 3 का घन बनाओ। इसे एक 2 × 2 × 2 टुकड़े, तीन 2 × 2 × 1 पट्टियों, तीन 2 × 1 × 1 छड़ों और एक अकेले क्यूब में बाँटो। गिनो: 8 + 12 + 6 + 1 = 27। तुमने हाथ से (2 + 1)³ सिद्ध कर दिया।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- द्विघात: α + β = −b/a, αβ = c/a
- त्रिघात: Σα = −b/a, Σαβ = c/a, αβγ = −d/a
- चतुर्घात: Σα = −b/a, Σαβ = c/a, Σαβγ = −d/a, αβγδ = e/a
- α² + β² + γ² = (Σα)² − 2Σαβ
- मूल α + k: x की जगह (x − k); मूल kα: x की जगह x/k; मूल 1/α: x की जगह 1/x
- (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
हल किए गए उदाहरण
1. 2x³ − 6x² + 5x + 4 = 0 के मूल α, β, γ हैं। Σα, Σαβ और αβγ निकालो।
a = 2, b = −6, c = 5, d = 4। Σα = −b/a = 6/2 = 3। Σαβ = c/a = 5/2। αβγ = −d/a = −4/2 = −2।
2. उसी समीकरण के लिए α² + β² + γ² निकालो।
(Σα)² − 2Σαβ = 3² − 2 × 5/2 = 9 − 5 = 4।
3. उसी समीकरण के लिए 1/α + 1/β + 1/γ निकालो।
Σαβ ÷ αβγ = (5/2) ÷ (−2) = −5/4।
4. मूल 1, −2 और 3 वाला त्रिघात समीकरण बनाओ।
Σα = 2, Σαβ = (1)(−2) + (−2)(3) + (3)(1) = −2 − 6 + 3 = −5, αβγ = −6। समीकरण: x³ − 2x² − 5x + 6 = 0।
5. x³ − 3x + 1 = 0 के मूल α, β, γ हैं। मूल α + 1, β + 1, γ + 1 वाला समीकरण बनाओ।
w = x + 1, तो x = w − 1। (w − 1)³ − 3(w − 1) + 1 = w³ − 3w² + 3w − 1 − 3w + 3 + 1 = w³ − 3w² + 3 = 0।
6. उसी समीकरण से मूल 2α, 2β, 2γ वाला समीकरण बनाओ।
x = w/2: w³/8 − 3w/2 + 1 = 0। 8 से गुणा: w³ − 12w + 8 = 0।
7. सिद्ध करो कि (x² + y²)² ≡ (x² − y²)² + (2xy)²।
दायाँ पक्ष = x⁴ − 2x²y² + y⁴ + 4x²y² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)² = बायाँ पक्ष। ∎
8. द्विपद प्रमेय से (x + 2)⁴ फैलाओ।
गुणांक 1, 4, 6, 4, 1: x⁴ + 4x³(2) + 6x²(4) + 4x(8) + 16 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16।
आम गलतियाँ
- ऋण चिह्न भूलना: त्रिघात में मूलों का योग −b/a है, b/a नहीं।
- जब प्रमुख गुणांक 1 न हो तब a से भाग देना भूलना।
- रूपांतरित मूल α + k के लिए x की जगह (x + k) रखना। नया मूल बड़ा है, इसलिए x − k रखते हैं।
- सर्वसमिका को ऐसे सिद्ध करना जैसे समीकरण हल कर रहे हो, दोनों पक्षों पर एक साथ काम करके। एक पक्ष से शुरू करके दूसरे तक पहुँचो।