ध्रुवीय निर्देशांक क्या हैं?
एक स्थिर बिंदु O चुनिए, इसे ध्रुव कहते हैं, और उससे एक स्थिर किरण, जिसे आरंभिक रेखा कहते हैं (धनात्मक x-अक्ष जैसी)। बिंदु P को (r, θ) से बताते हैं: r = दूरी OP, θ = आरंभिक रेखा से OP तक वामावर्त कोण।
एक बिंदु के कई नाम हो सकते हैं: (3, 40°) = (3, 400°) = (−3, 220°)। ऋणात्मक r का अर्थ है "उलटी दिशा में जाओ"।
ध्रुवीय और कार्तीय में रूपांतरण
ध्रुवीय → कार्तीय: x = r cosθ, y = r sinθ।
कार्तीय → ध्रुवीय: r = √(x² + y²), tanθ = y/x। चतुर्थांश ज़रूर देखिए: (−1, −1) के लिए tanθ = 1 पर θ = 225° है, 45° नहीं।
समीकरण भी बदलते हैं: x² + y² = 9 → r = 3; y = x → θ = 45°; x = 2 → r = 2 secθ।
ध्रुवीय वक्र
- r = a: O केंद्र वाला वृत्त। θ = α: O से गुजरती सीधी रेखा।
- r = 2a cosθ: O से गुजरता वृत्त, केंद्र (a, 0)।
- r = a(1 + cosθ): कार्डियॉइड। r = a + b cosθ: लिमाकॉन (b > a हो तो भीतरी लूप)।
- r = a cos nθ: गुलाब; n विषम हो तो n पंखुड़ियाँ, n सम हो तो 2n।
- r = aθ: आर्किमिडीज़ सर्पिल।
चित्र बनाने के लिए: θ (0°, 30°, 60° …) और r की तालिका बनाइए, सममिति देखिए, और जहाँ r = 0 हो वहाँ वक्र ध्रुव से गुजरता है।
ध्रुवीय वक्रों में कलन
x = r cosθ, y = r sinθ और r = f(θ) हो तो:
- dr/dθ धनात्मक हो तो बिंदु ध्रुव से दूर जा रहा है, ऋणात्मक हो तो पास आ रहा है।
- ढाल: dy/dx = (r′ sinθ + r cosθ) ÷ (r′ cosθ − r sinθ)।
- θ = α से β तक घिरा क्षेत्रफल: A = ½∫ r² dθ, पतले त्रिज्यखंडों (½r²Δθ) को जोड़कर।
करके देखें
परकार और चाँदे से कागज़ पर ध्रुवीय जाल बनाइए। θ = 0°, 60°, 90°, 120°, 180° के लिए r = 2(1 + cosθ) अंकित करके जोड़िए। अपना दिल-आकार 3D दृश्य से मिलाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- x = r cosθ, y = r sinθ
- r² = x² + y², tanθ = y/x (choose θ by quadrant)
- (r, θ) = (r, θ + 360°) = (−r, θ + 180°)
- Slope: dy/dx = (r′sinθ + r cosθ) / (r′cosθ − r sinθ)
- Area: A = ½ ∫_α^β r² dθ
- Rose r = a cos nθ: n petals (n odd), 2n petals (n even)
हल किए गए उदाहरण
1. (4, 60°) को कार्तीय में बदलिए।
x = 4cos60° = 2, y = 4sin60° = 2√3 ≈ 3.46।
2. (−3, 3) को ध्रुवीय में (r > 0) बदलिए।
r = √18 = 3√2। tanθ = −1, बिंदु दूसरे चतुर्थांश में, इसलिए θ = 135°।
3. x² + y² = 6x को ध्रुवीय रूप में लिखिए।
r² = 6r cosθ → r = 6cosθ। O से गुजरता वृत्त, केंद्र (3, 0)।
4. r = 3sin4θ और r = 5cos3θ में कितनी पंखुड़ियाँ?
n = 4 सम → 8; n = 3 विषम → 3।
5. r = 2 के अंदर θ = 0 से π/2 तक का क्षेत्रफल।
A = ½∫4 dθ = 2 × π/2 = π। (त्रिज्या 2 के वृत्त का चौथाई ✓)
6. कार्डियॉइड r = 1 + cosθ से घिरा क्षेत्रफल।
½∫₀^{2π}(1 + 2cosθ + cos²θ)dθ = ½(2π + 0 + π) = 3π/2।
7. r = 2θ के लिए θ = 1 पर dy/dx ज्ञात कीजिए।
r′ = 2। dy/dx = (2sin1 + 2cos1)/(2cos1 − 2sin1) ≈ −4.59।
आम गलतियाँ
- चतुर्थांश देखे बिना θ = tan⁻¹(y/x) लिखना।
- θ को दक्षिणावर्त नापना।
- क्षेत्रफल सूत्र में ½ भूलना।
- r = a cos2θ में 2 पंखुड़ियाँ कहना – वास्तव में 4 हैं।